의사도 자주 틀리는 확률의 함정
정확도 99%인 검사에서 양성이 나왔다. 내가 진짜 병에 걸렸을 확률은 몇 %일까?
새 증거로 믿음을 갱신하는 공식, 베이즈 정리
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 유병률 0.1%인 병의 정확도 99% 검사에서 양성이 나왔습니다. 진짜 병일 확률은?
10만 명에게 검사를 돌려보세요
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
검사 결과, 법정의 증거, 스팸 단어처럼 우리는 매일 '증거'를 받고 판단을 갱신해야 합니다. 그런데 인간의 직관은 이 갱신을 체계적으로 틀려요.
대표 사고가 기저율 무시입니다. 검사의 정확도(99%)에만 눈이 가고, 병 자체가 얼마나 드문가(0.1%)를 잊어요. 드문 병일수록 양성의 대부분은 가짜 양성입니다.
베이즈 정리는 이 갱신을 기계적으로 올바르게 해주는 공식입니다. 사전 믿음 × 증거의 힘 = 사후 믿음이에요. 현대 AI와 스팸 필터, 의료 진단이 전부 이 위에서 돕니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“확률을 뒤집으려면 대가가 필요하다 — 그 대가가 기저율이다.”
P(양성|병)=99%를 P(병|양성)으로 뒤집을 때, 유병률이라는 곱셈 인자가 끼어듭니다. 방향을 뒤집는 순간 수가 극적으로 변할 수 있어요.
“베이즈는 '정답 기계'가 아니라 '갱신 기계'다.”
베이즈 정리는 절대적 진실을 주지 않습니다. 지금 믿음에서 증거만큼만 이동시켜요. 증거가 쌓이면 서로 다른 사전 믿음도 결국 같은 곳으로 모입니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
정확도 99% 검사에서 양성이면 99% 확률로 병이다.
유병률 0.1%라면 양성자 대부분이 가짜 양성이라 진짜 병일 확률은 약 9%입니다. '검사가 병을 맞힐 확률'과 '양성일 때 병일 확률'은 방향이 다른 두 수예요.
검사 정확도만 높이면 이 문제는 사라진다.
정확도 99.9%로 올려도 유병률 0.1%면 병일 확률은 50%입니다. 사전확률(유병률)이 낮은 한 가짜 양성의 바다는 사라지지 않아요. 그래서 재검사가 존재합니다.
Formula
수식으로 정리하기
10만 명 실험에서 직접 센 것을 수식으로 쓰면 베이즈 정리입니다.
공식 해부 — 10만 명 시뮬레이션과 짝지어 보기
= × ÷
베이즈 정리
증거 E를 본 후의 가설 H의 확률입니다. 분자에 사전확률 P(H)가 곱해져 있어요. 기저율을 무시할 수 없는 이유입니다.
검사 문제에 적용
분모의 두 번째 항(건강한 사람의 가짜 양성)이 첫 항보다 10배 큽니다. 양성의 대부분이 가짜 양성인 이유가 식에 그대로 보여요.
오즈 형태 — 갱신의 언어
믿음(오즈)에 증거의 힘(우도비)을 곱하면 새 믿음입니다. 증거가 여러 개면 계속 곱하면 돼요. 스팸 필터가 하는 일 그대로입니다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
의료 선별검사 정책
유병률 낮은 병의 전 국민 검사가 신중한 이유입니다. 가짜 양성의 바다가 만들어지거든요. 재검사(증거 추가)로 확률을 끌어올리는 구조입니다.
스팸 필터
'무료', '당첨' 같은 단어 하나하나가 우도비입니다. 나이브 베이즈 필터는 단어들의 우도비를 곱해 스팸 확률을 갱신해요.
법정의 DNA 증거
'일치 확률 100만분의 1'이 곧 '무죄 확률 100만분의 1'이 아닙니다. 용의자 후보의 수(사전확률)를 곱해야 해요.
AI의 추론
자율주행차가 센서 노이즈 속에서 '보행자일 확률'을 갱신하는 방식이 베이즈 필터입니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
유병률 0.1%인 병을 정확도 99% 검사로 검사했더니 양성입니다. 진짜 병일 확률은?
같은 99% 검사를 유병률 10%인 병에 쓰면, 양성일 때 병일 확률은 대략?
유병률 0.1%는 그대로 두고 검사 정확도만 99.9%로 올리면, 양성일 때 병일 확률은?
첫 양성으로 병일 확률이 9%가 됐습니다. 독립적인 재검사에서 또 양성이면 확률은 약 몇 %일까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
Connection
개념은 이어진다
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