P(H|E) · 베이즈 정리
새 증거로 믿음을 갱신하는 공식, 베이즈 정리
정확도 99%인 검사에서 양성이 나왔다. 내가 진짜 병에 걸렸을 확률은 몇 %일까?
의사도 자주 틀리는 확률의 함정
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
검사 결과, 법정의 증거, 스팸 단어처럼 우리는 매일 '증거'를 받고 판단을 갱신해야 합니다. 그런데 인간의 직관은 이 갱신을 체계적으로 틀려요.
대표 사고가 기저율 무시입니다. 검사의 정확도(99%)에만 눈이 가고, 병 자체가 얼마나 드문가(0.1%)를 잊어요. 드문 병일수록 양성의 대부분은 가짜 양성입니다.
베이즈 정리는 이 갱신을 기계적으로 올바르게 해주는 공식입니다. 사전 믿음 × 증거의 힘 = 사후 믿음이에요. 현대 AI와 스팸 필터, 의료 진단이 전부 이 위에서 돕니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 유병률 0.1%인 병의 정확도 99% 검사에서 양성이 나왔습니다. 진짜 병일 확률은?
10만 명에게 검사를 돌려보세요
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
베이즈 정리는 관찰 이후에 판단을 바꾸는 계산법입니다. 관찰이 얼마나 그럴듯한지만 보지 않고, 그 일이 관찰 전에는 얼마나 흔했는지도 함께 봅니다.
가상의 1000명 중 10명이 어떤 상태에 있다고 합시다. 그 10명 중 9명, 나머지 990명 중 99명이 같은 신호를 보이면, 신호를 보인 108명 가운데 해당 상태인 사람은 9명입니다. 분모를 누구로 잡는지가 핵심입니다.
확률을 뒤집으려면 대가가 필요하다 — 그 대가가 기저율이다.
P(양성|병)=99%를 P(병|양성)으로 뒤집을 때, 유병률이라는 곱셈 인자가 끼어듭니다. 방향을 뒤집는 순간 수가 극적으로 변할 수 있어요.
베이즈는 '정답 기계'가 아니라 '갱신 기계'다.
베이즈 정리는 절대적 진실을 주지 않습니다. 지금 믿음에서 증거만큼만 이동시켜요. 증거가 쌓이면 서로 다른 사전 믿음도 결국 같은 곳으로 모입니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
이 숫자는 학습용 가정입니다. 실제 검사나 예측의 성능은 별도 자료로 확인해야 합니다.
10만 명 실험에서 직접 센 것을 수식으로 쓰면 베이즈 정리입니다.
공식 해부 — 10만 명 시뮬레이션과 짝지어 보기
= × ÷
베이즈 정리
증거 E를 본 후의 가설 H의 확률입니다. 분자에 사전확률 P(H)가 곱해져 있어요. 기저율을 무시할 수 없는 이유입니다.
검사 문제에 적용
분모의 두 번째 항(건강한 사람의 가짜 양성)이 첫 항보다 10배 큽니다. 양성의 대부분이 가짜 양성인 이유가 식에 그대로 보여요.
오즈 형태 — 갱신의 언어
믿음(오즈)에 증거의 힘(우도비)을 곱하면 새 믿음입니다. 증거가 여러 개면 계속 곱하면 돼요. 스팸 필터가 하는 일 그대로입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
정확도 99% 검사에서 양성이면 99% 확률로 병이다.
유병률 0.1%라면 양성자 대부분이 가짜 양성이라 진짜 병일 확률은 약 9%입니다. '검사가 병을 맞힐 확률'과 '양성일 때 병일 확률'은 방향이 다른 두 수예요.
검사 정확도만 높이면 이 문제는 사라진다.
정확도 99.9%로 올려도 유병률 0.1%면 병일 확률은 50%입니다. 사전확률(유병률)이 낮은 한 가짜 양성의 바다는 사라지지 않아요. 그래서 재검사가 존재합니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
의료 선별검사 정책
유병률 낮은 병의 전 국민 검사가 신중한 이유입니다. 가짜 양성의 바다가 만들어지거든요. 재검사(증거 추가)로 확률을 끌어올리는 구조입니다.
스팸 필터
'무료', '당첨' 같은 단어 하나하나가 우도비입니다. 나이브 베이즈 필터는 단어들의 우도비를 곱해 스팸 확률을 갱신해요.
법정의 DNA 증거
'일치 확률 100만분의 1'이 곧 '무죄 확률 100만분의 1'이 아닙니다. 용의자 후보의 수(사전확률)를 곱해야 해요.
AI의 추론
자율주행차가 센서 노이즈 속에서 '보행자일 확률'을 갱신하는 방식이 베이즈 필터입니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
상태가 있을 때 신호가 나올 확률과 신호가 있을 때 상태가 있을 확률은 왜 다르죠?
생각한 뒤 설명 확인하기
비교하는 전체 집단이 다릅니다. 앞의 분모는 해당 상태인 사람이고, 뒤의 분모는 신호를 보인 모든 사람입니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 유병률 0.1%인 병을 정확도 99% 검사로 검사했더니 양성입니다. 진짜 병일 확률은?
2. 같은 99% 검사를 유병률 10%인 병에 쓰면, 양성일 때 병일 확률은 대략?
3. 유병률 0.1%는 그대로 두고 검사 정확도만 99.9%로 올리면, 양성일 때 병일 확률은?
4. 첫 양성으로 병일 확률이 9%가 됐습니다. 독립적인 재검사에서 또 양성이면 확률은 약 몇 %일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1유병률이 10%인 병이라면, 같은 99% 검사에서 양성일 때 병일 확률은 대략 얼마나 될까요?답 보기 ▾
약 92%입니다. 10만 명 중 병 1만 명에서 9,900명이 진짜 양성, 건강 9만 명에서 900명이 가짜 양성이에요. 9,900/10,800 ≈ 92%입니다. 유병률이 높아지면 같은 검사도 믿을 만해져요. '의사가 검사를 처방하는 것' 자체가 사전확률을 올리는 행위입니다.
Q2양성이 나온 뒤 독립적인 재검사에서 또 양성이면, 확률은 어떻게 될까요?답 보기 ▾
9%를 새 사전확률로 놓고 다시 갱신하면 약 91%로 뛰어오릅니다. 증거를 쌓으면 오즈에 우도비가 거듭 곱해져요. 재검사가 존재하는 수학적 이유입니다.
Q3'비가 올 확률 70%' 예보를 보고 우산을 챙겼는데 비가 안 왔다면, 예보가 틀린 걸까요?답 보기 ▾
아닙니다. 70%는 30%의 '안 옴'을 포함한 진술이에요. 예보의 품질은 한 번이 아니라 '70%라고 말한 날들 중 실제 70%쯤 비가 왔는가'로 평가합니다. 베이즈적 사고의 핵심 습관이에요.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
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