새 정보 하나가 확률을 통째로 뒤집는 순간
문 셋 중 하나에 자동차. 당신이 고른 뒤 사회자가 염소 문 하나를 열어줬다. 바꾸는 게 유리할까?
좁아진 세계에서 다시 세는 기술, 조건부확률
Experiment
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예측 먼저 — 당신이 문을 고른 뒤, 정답을 아는 사회자가 염소 문 하나를 열어줬습니다. 바꾸는 게 유리할까요?
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바꾸기 승률
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유지 승률
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더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
1990년 이 문제가 잡지에 실렸을 때, 수학 박사 1,000명이 '바꿔라'라는 정답에 항의 편지를 보냈습니다. 인간의 직관이 조건부확률 앞에서 얼마나 무력한지 보여주는 사건이었어요.
핵심은 정보입니다. 사회자가 문을 여는 순간 당신은 새 정보를 얻었고, 가능한 세계의 목록이 달라졌어요. 달라진 목록에서 다시 세는 것, 그게 조건부확률의 전부입니다.
의료 검사 결과 해석, 법정의 증거 평가, 스팸 필터처럼 '무언가를 알게 된 후의 확률'을 다루는 모든 곳에서 이 사고가 판단을 좌우해요.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“조건은 확률을 바꾸는 게 아니라, 세는 세계를 바꾼다.”
P(A|B)는 'B라는 세계 안에서 A를 다시 센 것'입니다. 분자가 아니라 분모가 바뀐다는 것이 조건부확률의 심장이에요.
“몬티홀의 진짜 열쇠는 '사회자가 알고 있다'는 것이다.”
사회자가 정답을 모르고 우연히 염소 문을 열었다면 확률은 정말 50:50이 됩니다. 같은 장면도 정보의 출처가 다르면 확률이 달라요. 조건부확률이 섬세한 이유입니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
문 두 개가 남았으니 확률은 50:50이다.
처음 고른 문이 정답일 확률 1/3은 사회자가 문을 열어도 변하지 않습니다. 나머지 2/3의 확률이 남은 한 문에 몰려요. 사회자는 '정답을 알고' 염소 문만 열기 때문입니다.
확률은 한 번 정해지면 변하지 않는다.
확률은 '내가 아는 정보'에 대한 값입니다. 새 정보가 들어오면 가능한 세계가 좁아지고, 좁아진 세계에서 다시 세면 확률이 변해요. 그것이 조건부확률입니다.
Formula
수식으로 정리하기
실험에서 본 '세계 좁히기'를 수식으로 쓰면 조건부확률의 정의가 됩니다.
공식 해부 — 주사위 세계 축소 실험과 짝지어 보기
= ÷
조건부확률의 정의
B가 일어났다는 조건 아래 A의 확률입니다. 분모가 전체에서 B로 줄어들어요. 좁아진 세계에서 다시 세기입니다.
몬티홀의 계산
바꾸기 전략은 '처음 선택이 틀렸을 때' 항상 이깁니다. 처음이 틀릴 확률이 2/3이므로 바꾸면 2/3로 이겨요.
독립의 의미
조건을 알아도 확률이 안 변하면 두 사건은 독립입니다. 동전 던지기의 과거가 미래를 못 바꾸는 이유(확률 실험실)가 이것이에요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
의료 검사 해석
'검사 양성일 때 실제 병일 확률'은 조건부확률입니다. 이 값이 직관과 크게 다를 수 있다는 것이 베이즈 정리로 이어져요.
스팸 필터
'이 단어가 있을 때 스팸일 확률'. 이메일 필터의 뼈대가 조건부확률 계산입니다.
법정의 증거
'증거가 있을 때 유죄일 확률'과 '유죄일 때 증거가 있을 확률'을 혼동하는 것이 유명한 '검사의 오류'입니다.
게임과 카드
포커에서 상대의 베팅(정보)이 들어올 때마다 내 승률 계산의 분모가 달라집니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
주사위를 던진 뒤 '4 이상'이라는 힌트를 들었습니다. 6이 나왔을 확률은?
몬티홀 게임에서 처음 선택을 끝까지 바꾸지 않으면 이길 확률은?
사회자가 정답을 모른 채 아무 문이나 열었는데 우연히 염소였습니다. 이때 바꾸면 이길 확률은?
문이 100개인 몬티홀에서 하나를 고른 뒤 사회자가 염소 문 98개를 열었습니다. 바꾸면 이길 확률은 몇 %일까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
Connection
개념은 이어진다
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다음 개념으로 연결
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