PROOF 164
증명하라.
조건부확률의 정의는 표본공간을 줄인 것이다
확률공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
P(B) > 0 일 때, B 가 일어났다는 정보 아래의 확률 Q 를 Q(A) = P(A ∩ B) / P(B) 로 정하고, 이를 P(A|B) 라 쓴다.
증명.
(1)B 가 일어났다면 B 밖의 결과는 일어나지 않았다. 새 전사건은 S 가 아니라 B 다.약속
(2)그러므로 사건 A 에서 남는 것은 A ∩ B 뿐이며, Q(A) 는 P(A∩B) 로 결정된다.(1)
(3)Q(A) = P(A∩B) 로 두면 Q(S) = P(S∩B) = P(B) 이며, 이는 일반적으로 1 이 아니다.(2), A7, E
(4)확률은 전사건에서 1 이어야 한다. 그러므로 눈금을 P(B) 로 다시 잡는다.(3), A2
(5)Q(A) = P(A∩B) / P(B) 로 정한다. 이 정의는 P(B) > 0 인 B 에 대해서만 둔다.(4), A4
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보조정리 L1
P(B) = 0 이면 모든 사건 A 에 대하여 P(A ∩ B) = 0
증명.
(1)B = (A∩B) ∪ (B∖A) 이고 두 사건은 배반이다.A11
(2)P(B) = P(A∩B) + P(B∖A)(1), A3
(3)P(A∩B) ≥ 0 이고 P(B∖A) ≥ 0A1
(4)P(B) = 0 이라 하자.가정
(5)두 항이 모두 0 이상이고 합이 0 이므로 P(A∩B) = 0(2), (3), (4), A12
(6)그때 D1 의 분자와 분모가 모두 0 이 되어, 증명 02 에 의해 값이 하나로 정해지지 않는다. 단서 P(B) > 0 은 이 때문에 있다.(5), D1, A4
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정리 T1
P(B) > 0 이면 Q 는 콜모고로프의 세 공리를 모두 만족한다.
증명.
(1)P(B) > 0 이라 하자.가정
(2)P(A∩B) ≥ 0A1
(3)Q(A) = P(A∩B)/P(B) ≥ 0. 이것이 P1 이다.(1), (2), D1, A5
(4)S ∩ B = BA7
(5)Q(S) = P(S∩B)/P(B) = P(B)/P(B) = 1. 이것이 P2 이다.(1), (4), D1, A10, E
(6)X ∩ Y = ∅ 이라 하자.가정
(7)(X ∪ Y) ∩ B = (X∩B) ∪ (Y∩B)A8
(8)X∩B 와 Y∩B 는 배반이다.(6), A9
(9)P((X∪Y)∩B) = P(X∩B) + P(Y∩B)(7), (8), A3
(10)Q(X ∪ Y) = [P(X∩B) + P(Y∩B)] / P(B)(9), D1
(11)= P(X∩B)/P(B) + P(Y∩B)/P(B) = Q(X) + Q(Y). 이것이 P3 이다.(10), A6, D1
(12)Q 는 세 공리를 모두 만족한다.(3), (5), (11)
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따름정리 C1
세 공리만으로 증명된 모든 명제는 P(A|B) 에도 그대로 성립한다.
증명.
(1)Q 는 세 공리를 만족한다.T1
(2)그러므로 세 공리만을 근거로 삼는 명제는 Q 에도 적용된다.(1)
(3)증명 161 에 의하여 0 ≤ P(A|B) ≤ 1(2)
(4)증명 162 에 의하여 P(Aᶜ|B) = 1 − P(A|B)(2)
(5)그러므로 P(A∩B)/P(B) 를 확률이라 부르는 것은 이름이 아니라 자격이다.(1), D1
(6)분모의 P(B) 는 규약이 아니다. Q(S) = 1 을 맞추는 눈금이며, 그 눈금이 없으면 (5) 의 자격이 서지 않는다.(5), D1, A2
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
P(B) > 0 은 정의에 붙은 단서로 보인다. 제거하면 정의가 무엇을 잃는지 확인하라.