PROOF 63
증명하라.
베이즈 정리
확률공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
P(B) > 0 일 때 P(A|B) = P(A∩B) / P(B) 로 정하고, 이를 B 가 일어났을 때의 A 의 확률이라 한다.
증명.
(1)이 정의는 P(B) > 0 인 B 에 대해서만 둔다.약속
(2)A∩B ⊆ B 이므로 P(A∩B) ≤ P(B)A2
(3)P(B) = 0 이면 (2) 와 P(A∩B) ≥ 0 에 의해 P(A∩B) = 0(2), A3
(4)그때 분자와 분모가 모두 0 이므로 나눗셈은 값을 하나로 정하지 못한다. 단서 P(B) > 0 은 이 때문에 있다.(3), A1
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정의 D2
a ÷ b 는 b × x = a 를 만족하는 x 를 뜻한다.
증명.
그러한 x 가 하나뿐일 때에만 a ÷ b 는 값을 갖는다.약속
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보조정리 L1
P(B) > 0 이면 P(A∩B) = P(A|B) · P(B)
증명.
(1)P(A|B) = P(A∩B) / P(B)가정, D1
(2)P(A∩B) / P(B) 는 P(B)·x = P(A∩B) 인 x 다.D2
(3)P(B) ≠ 0 이므로 그러한 x 는 하나뿐이며, 그 x 가 P(A|B) 다.(1), (2), A1, A10
(4)P(B) · P(A|B) = P(A∩B)(2), (3)
(5)P(A∩B) = P(A|B) · P(B)(4), A9, E
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보조정리 L2
P(A) + P(Aᶜ) = 1
증명.
(1)Ω = A ∪ Aᶜ 이고 두 사건은 배반이다.A6
(2)P(Ω) = P(A) + P(Aᶜ)(1), A5
(3)P(Ω) = 1A7
(4)P(A) + P(Aᶜ) = 1(2), (3), E
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보조정리 L3
P(A) > 0 이면 P(B|A) + P(Bᶜ|A) = 1
증명.
(1)A = (A∩B) ∪ (A∩Bᶜ) 이고 두 사건은 배반이다.A8
(2)P(A) = P(A∩B) + P(A∩Bᶜ)(1), A5
(3)P(B|A) = P(B∩A)/P(A), P(Bᶜ|A) = P(Bᶜ∩A)/P(A)가정, D1
(4)P(B∩A) = P(A∩B) 이고 P(Bᶜ∩A) = P(A∩Bᶜ)A4
(5)P(B|A) + P(Bᶜ|A) = [P(A∩B) + P(A∩Bᶜ)] / P(A)(3), (4), A11
(6) = P(A) / P(A)(5), (2)
(7)P(A) ≠ 0 이므로 P(A)·x = P(A) 인 x 는 1 뿐이다. 즉 P(A)/P(A) = 1D2, A1, A10
(8)P(B|A) + P(Bᶜ|A) = 1(6), (7)
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정리 T1
P(A) > 0 이고 P(B) > 0 이면 P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)
증명.
(1)P(A∩B) = P(A|B) · P(B)가정, L1
(2)P(B∩A) = P(B|A) · P(A)가정, L1
(3)A ∩ B = B ∩ AA4
(4)P(A|B) · P(B) = P(B|A) · P(A)(1), (2), (3), E
(5)P(B) ≠ 0 이므로 P(B)·x = P(B|A)P(A) 인 x 는 하나뿐이고, 그 x 는 P(A|B) 다.(4), A1, A9, A10
(6)P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)(5), D2
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따름정리 C1
0 < P(A) < 1 이고 P(B) > 0 이면 P(A|B) = P(B|A)P(A) / [ P(B|A)P(A) + P(B|Aᶜ)P(Aᶜ) ]
증명.
(1)P(A) + P(Aᶜ) = 1 이고 P(A) < 1 이므로 P(Aᶜ) > 0가정, L2, N
(2)B = (B∩A) ∪ (B∩Aᶜ) 이고 두 사건은 배반이다.A8
(3)P(B) = P(B∩A) + P(B∩Aᶜ)(2), A5
(4)P(B∩A) = P(B|A)P(A), P(B∩Aᶜ) = P(B|Aᶜ)P(Aᶜ)가정, (1), L1
(5)P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Aᶜ)P(Aᶜ)(3), (4)
(6)P(A|B) = P(B|A)P(A) / [ P(B|A)P(A) + P(B|Aᶜ)P(Aᶜ) ](5), T1, E
(7)분자는 T1 의 분자와 같다. 바뀐 것은 분모이며, 분모는 양성이 나오는 모든 길의 합이다.(5), (6)
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따름정리 C2
P(A) = 0.001, P(B|A) = 0.99, P(Bᶜ|Aᶜ) = 0.99 이면 P(A|B) = 11/122 이며, 이는 약 0.09 다.
증명.
(1)A 를 병이 있는 사건, B 를 검사가 양성인 사건이라 하자.가정
(2)P(Aᶜ) = 1 − 0.001 = 0.999가정, L2, N
(3)P(A) > 0 이고 P(Aᶜ) > 0 이며 P(A) < 1 이다.가정, (2)
(4)P(B|Aᶜ) + P(Bᶜ|Aᶜ) = 1 이므로 P(B|Aᶜ) = 1 − 0.99 = 0.01(3), L3, N
(5)P(B) = 0.99 × 0.001 + 0.01 × 0.999 = 0.00099 + 0.00999 = 0.01098가정, (2), (4), C1, N
(6)P(B) = 0.01098 > 0(5), N
(7)P(A|B) = 0.00099 / 0.01098 = 99/1098 = 11/122(5), (6), C1, N
(8)11/122 = 0.0901… 이므로 P(A|B) 는 약 0.09 다.(7), N
(9)같은 검사에서 P(A) = 0.1 로 바꾸면 P(B) = 0.099 + 0.009 = 0.108 이고 P(A|B) = 0.099/0.108 = 11/12, 약 0.92 다.C1, N
(10)두 계산에서 P(B|A) 와 P(B|Aᶜ) 는 같다. 바뀐 것은 P(A) 하나다.(8), (9)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
P(B) > 0 은 정의에 붙은 단서일 뿐으로 보인다. 제거하면 어디까지 값을 잃는지 확인하라.