PROOF 198
증명하라.
정확한 검사도 기저율 앞에서는 자주 틀린다
확률공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
P(B) > 0 일 때 P(A∣B) = P(A ∩ B) / P(B) 로 정한다.
증명.
(1)이 정의와 그 자격은 증명 164 에서 세웠다. 여기서는 그대로 받는다.약속
(2)D 를 병이 있는 사건, + 를 검사가 양성인 사건이라 쓴다.약속
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보조정리 L1
P(X) > 0 이면 P(Y ∩ X) = P(Y∣X) · P(X)
증명.
(1)P(Y∣X) = P(Y∩X) / P(X)가정, D1
(2)양변에 P(X) 를 곱한다. P(Y∣X)·P(X) = (P(Y∩X)/P(X))·P(X)(1), E
(3)P(X) ≠ 0 이므로 우변은 P(Y∩X) 다.(2), A5
(4)P(Y ∩ X) = P(Y∣X) · P(X)(3), E
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보조정리 L2
P(D) > 0 이고 P(Dᶜ) > 0 이면 P(+) = P(+∣D)P(D) + P(+∣Dᶜ)P(Dᶜ)
증명.
(1)+ = (+∩D) ∪ (+∩Dᶜ) 이고 두 사건은 배반이다.A2
(2)P(+) = P(+∩D) + P(+∩Dᶜ)(1), A1
(3)P(+∩D) = P(+∣D)P(D) 이고 P(+∩Dᶜ) = P(+∣Dᶜ)P(Dᶜ)가정, L1
(4)P(+) = P(+∣D)P(D) + P(+∣Dᶜ)P(Dᶜ)(2), (3), E
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정리 T1
P(D) > 0, P(Dᶜ) > 0, P(+) > 0 이면 P(D∣+) = P(+∣D)P(D) / [ P(+∣D)P(D) + P(+∣Dᶜ)P(Dᶜ) ]
증명.
(1)P(D∣+) = P(D∩+) / P(+)가정, D1
(2)P(D∩+) = P(+∩D)A3
(3)P(+∩D) = P(+∣D) · P(D)가정, L1
(4)P(D∣+) = P(+∣D)P(D) / P(+)(1), (2), (3), E
(5)분모를 전확률로 펼친다. P(D∣+) = P(+∣D)P(D) / [ P(+∣D)P(D) + P(+∣Dᶜ)P(Dᶜ) ](4), L2, E
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따름정리 C
P(D∣+) = 11/122 이며, 이는 약 0.09 다.
증명.
(1)P(D) = 1/1000 > 0 이고 P(Dᶜ) = 1 − 1/1000 = 999/1000 > 0A6, A4, N
(2)분자: P(+∣D)P(D) = (99/100)(1/1000) = 99/100000A7, A6, N
(3)분모의 둘째 항: P(+∣Dᶜ)P(Dᶜ) = (1/100)(999/1000) = 999/100000A8, (1), N
(4)P(+) = 99/100000 + 999/100000 = 1098/100000 > 0(2), (3), L2, N
(5)P(D∣+) = (99/100000) / (1098/100000) = 99/1098T1, (2), (4), N
(6)99 = 9 × 11 이고 1098 = 9 × 122 이므로 99/1098 = 11/122(5), N
(7)11/122 = 0.0901… 이므로 P(D∣+) 는 약 0.09 다. 양성 판정 백 건 중 병이 있는 것은 약 아홉 건이다.(6), N
(8)분자와 분모가 모두 P(D) 를 인자로 갖는다. 검사의 성능 P(+∣D), P(+∣Dᶜ) 만으로는 이 값이 정해지지 않는다.T1, (5)
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비고
A6 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
기저율은 검사와 무관한 배경 수치로 보인다. 제거했을 때 무엇이 남고 무엇이 정해지지 않는지 확인하라.