PROOF 166
증명하라.
기대값은 실제로 나오지 않을 수 있다
확률공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
확률변수 X 가 취하는 값이 서로 다른 x₁, …, x_k 뿐일 때 X 를 유한값 확률변수라 한다.
증명.
(1)값이 서로 다르므로 사건 {X = xᵢ} 들은 서로 배반이다.약속
(2)모든 표본점은 어떤 값을 가지므로 그 합집합은 Ω 다.약속
(3)그러므로 {X = x₁}, …, {X = x_k} 는 Ω 의 분할이다.(1), (2)
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정의 D2
pᵢ = P(X = xᵢ) 라 하고, X 의 기대값을 E(X) = x₁p₁ + ⋯ + x_k p_k 로 정한다.
증명.
값이 유한 개이므로 이 합은 유한 개의 항으로 이루어진다.약속, D1
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보조정리 L1
p₁ + ⋯ + p_k = 1
증명.
(1){X = x₁}, …, {X = x_k} 는 서로 배반이고 그 합집합은 Ω 다.D1
(2)P(Ω) = P(X=x₁) + ⋯ + P(X=x_k)(1), A1
(3)P(Ω) = 1A2
(4)p₁ + ⋯ + p_k = 1(2), (3), D2, E
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정리 T1
X 의 값 가운데 가장 작은 것을 m, 가장 큰 것을 M 이라 하면 m ≤ E(X) ≤ M
증명.
(1)모든 i 에 대하여 pᵢ = P(X = xᵢ) ≥ 0A3, D2
(2)모든 i 에 대하여 xᵢ ≤ M가정
(3)xᵢ pᵢ ≤ M pᵢ(1), (2), A4
(4)Σ xᵢ pᵢ ≤ Σ M pᵢ(3), A5
(5)Σ M pᵢ = M Σ pᵢA6
(6)Σ pᵢ = 1 이므로 Σ M pᵢ = M(5), L1, N
(7)E(X) ≤ M(4), (6), D2
(8)모든 i 에 대하여 m ≤ xᵢ 이므로 m pᵢ ≤ xᵢ pᵢ(1), 가정, A4
(9)Σ m pᵢ ≤ Σ xᵢ pᵢ 이고 Σ m pᵢ = m Σ pᵢ = m(8), A5, A6, L1, N
(10)m ≤ E(X) ≤ M(7), (9), D2
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정리 T2
값이 두 개 이상이고 모든 pᵢ 가 양수이면 m < E(X) < M
증명.
(1)E(X) − m = Σ xᵢpᵢ − m Σ pᵢ = Σ (xᵢ − m) pᵢD2, L1, A6
(2)모든 i 에 대하여 xᵢ − m ≥ 0 이고 pᵢ > 0 이므로 (xᵢ − m)pᵢ ≥ 0가정, A4
(3)값이 두 개 이상이므로 x_j > m 인 j 가 있다.가정
(4)x_j − m > 0 이고 p_j > 0 이므로 (x_j − m)p_j > 0(3), 가정, A7
(5)모든 항이 0 이상이고 한 항이 0 보다 크므로 Σ (xᵢ − m)pᵢ > 0(2), (4), A8
(6)m < E(X)(1), (5)
(7)M − E(X) = Σ (M − xᵢ)pᵢ 에 같은 논법을 쓰면 E(X) < M(1), (2), (4), (5), A6, A8
(8)m < E(X) < M 이므로 E(X) 는 최솟값도 최댓값도 아니다.(6), (7)
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따름정리 C1
값이 두 개뿐이고 둘 다 확률이 양수이면 E(X) 는 어느 값도 아니다. 주사위의 E(X) 는 3.5 이며 어떤 눈도 아니다.
증명.
(1)값이 x₁ < x₂ 두 개뿐이고 p₁ > 0, p₂ > 0 이라 하자.가정, D1
(2)x₁ < E(X) < x₂ 이므로 E(X) 는 x₁ 도 x₂ 도 아니다.(1), T2
(3)주사위의 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6 이고 각 확률은 1/6 이라 하자.가정, D1
(4)여섯 항의 합은 6 × (1/6) = 1 이므로 L1 과 어긋나지 않는다.(3), L1, N
(5)E(X) = (1+2+3+4+5+6) × (1/6) = 21/6 = 3.5(3), D2, N
(6)값이 모두 정수이고 3.5 는 정수가 아니므로 3.5 = xᵢ 인 i 는 없다.(3), (5), N
(7)1 < 3.5 < 6 이며, 이는 T2 와 어긋나지 않는다.(5), T2, N
(8)그러므로 기대값은 값들 사이의 한 점이며, 그 점이 X 의 값이라는 보장은 없다.(2), (6), (7)
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
3.5 는 계산으로 나온 수다. 제거하면 그 수가 사라지는지, 아니면 다른 것이 사라지는지 확인하라.