PROOF 165
증명하라.
기대값은 독립이 아니어도 더해진다
확률공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
표본공간 Ω 가 유한할 때, 각 표본점 ω 에 실수 X(ω) 를 대응시키는 것을 확률변수라 한다.
증명.
(1)두 확률변수 X, Y 에 대하여 (X+Y)(ω) = X(ω) + Y(ω) 로 정한다.약속
(2)(XY)(ω) = X(ω) · Y(ω) 로 정한다.약속
(3)두 정의는 표본점마다 따로 이루어진다. 여기에 X 와 Y 의 관계는 들어가지 않는다.(1), (2)
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정의 D2
확률변수 X 의 기대값을 E(X) = Σ_{ω∈Ω} X(ω) P(ω) 로 정한다.
증명.
Ω 가 유한하므로 이 합은 유한 개의 항으로 이루어진다.약속, D1
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정의 D3
모든 x, y 에 대하여 P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y) 일 때 X 와 Y 는 독립이라 한다.
증명.
독립은 두 확률변수가 함께 취하는 값에 대한 조건이며, 각각의 분포만으로는 정해지지 않는다.약속
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정리 T1
두 확률변수 X, Y 에 대하여 E(X + Y) = E(X) + E(Y)
증명.
(1)E(X+Y) = Σ_ω (X+Y)(ω) P(ω)D2
(2)(X+Y)(ω) = X(ω) + Y(ω)D1
(3)E(X+Y) = Σ_ω [X(ω) + Y(ω)] P(ω)(1), (2)
(4)[X(ω) + Y(ω)] P(ω) = X(ω)P(ω) + Y(ω)P(ω)A1
(5)E(X+Y) = Σ_ω [X(ω)P(ω) + Y(ω)P(ω)](3), (4)
(6)항이 유한 개이므로 순서를 바꾸어 X 의 항끼리, Y 의 항끼리 모을 수 있다.(5), A2, D2
(7)E(X+Y) = Σ_ω X(ω)P(ω) + Σ_ω Y(ω)P(ω)(6)
(8)E(X+Y) = E(X) + E(Y)(7), D2
(9)(1) 부터 (8) 까지 어느 줄도 X 와 Y 의 관계를 쓰지 않았다. 쓴 것은 표본점마다의 덧셈과 그 재배열뿐이다.(2), (6)
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정리 T2
E(XY) = E(X) E(Y) 는 일반적으로 성립하지 않는다.
증명.
(1)Ω = {ω₁, ω₂} 이고 P(ω₁) = P(ω₂) = 1/2 라 하자.가정
(2)두 값은 0 이상이고 두 표본점은 배반이며 그 합집합이 Ω 이므로 P(Ω) = 1/2 + 1/2 = 1 이다. 세 공리를 만족한다.(1), A3, A4, A5, N
(3)X(ω₁) = 1, X(ω₂) = 0 이라 하고 Y = X 라 하자.가정, D1
(4)E(X) = 1·(1/2) + 0·(1/2) = 1/2 이고 E(Y) = 1/2(1), (3), D2, N
(5)(XY)(ω₁) = 1·1 = 1 이고 (XY)(ω₂) = 0·0 = 0(3), D1, N
(6)E(XY) = 1·(1/2) + 0·(1/2) = 1/2(1), (5), D2, N
(7)E(X) E(Y) = (1/2)(1/2) = 1/4(4), N
(8)1/2 ≠ 1/4 이므로 E(XY) ≠ E(X)E(Y)(6), (7), N
(9)P(X=1, Y=1) = 1/2 이고 P(X=1)P(Y=1) = 1/4 이므로 이 X 와 Y 는 독립이 아니다.(1), (3), D3, N
(10)같은 X, Y 에서 (X+Y)(ω₁) = 2, (X+Y)(ω₂) = 0 이므로 E(X+Y) = 2·(1/2) + 0·(1/2) = 1 이고, E(X) + E(Y) = 1/2 + 1/2 = 1 이다.(1), (3), D1, D2, N
(11)독립이 아닌 같은 한 쌍에서 곱의 등식은 깨지고 덧셈의 등식은 성립한다.(8), (10), (9), T1
(12)그러므로 곱의 등식에는 독립과 같은 추가 조건이 필요하고, 덧셈의 등식에는 필요하지 않다.(8), (9), (11)
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
덧셈의 등식이 독립을 쓰지 않는다면, 대신 무엇을 쓰는지 확인하라.