정의 D1
자료 x₁, …, xₙ 의 평균 x̄ 는 n x̄ = Σxᵢ 를 만족하는 값이다. 자료를 크기순으로 늘어놓았을 때 n = 2m + 1 이면 가운데 값 x₍ₘ₊₁₎ 을 중앙값 x̃ 라 한다.
증명.
(1)Σaᵢ 는 a₁ + ⋯ + aₙ 을, u − v 는 u + (−v) 를, u ≤ v 는 u < v 또는 u = v 를 뜻한다.약속
(2)평균이 존재하며 하나뿐이라는 것은 증명 64 에서 얻었다. 아래에서는 n 이 홀수인 경우를 다룬다.약속
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정의 D2
0 ≤ t 이면 |t| = t, t < 0 이면 |t| = −t 라 한다. 기준값 c 에 대하여 L(c) = Σ|xᵢ − c|, S(c) = Σ(xᵢ − c)² 로 둔다.
증명.
두 식은 모두 편차의 부호를 없앤 양이다. 없애는 방법만 다르다.약속
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보조정리 L1
a ≤ b 이면 모든 c 에 대하여 |c − a| + |c − b| ≥ b − a 이고, 등호는 a ≤ c ≤ b 일 때뿐이다.
증명.
(1)삼분법에 의해 c < a, a ≤ c ≤ b, b < c 의 세 경우뿐이다.가정, A10
(2)a ≤ c ≤ b 이면 |c − a| = c − a, |c − b| = b − c 이므로 합은 b − a 이다.(1), D2, A1, A2, A3, A4
(3)c < a 라 하자. a ≤ b 이므로 c < b 이고 |c − a| = a − c, |c − b| = b − c(1), A9, D2
(4)(a − c) + (b − c) = (b − a) + 2(a − c)(3), A1, A2, A3, A4, E
(5)c < a 이므로 0 < a − c 이고, 따라서 0 < 2(a − c)(3), A7, A4, A8
(6)b − a < (b − a) + 2(a − c)(5), A7, A2, A3
(7)b < c 인 경우도 같은 방법으로 b − a < (b − a) + 2(c − b)(1), D2, A1, A2, A3, A4, A7, A8, A9, E
(8)세 경우를 합하면 부등식이 성립하며, 등호는 (2) 의 경우뿐이다.(2), (6), (7)
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정리 T1
S(c) 를 최소로 하는 c 는 평균이고, L(c) 를 최소로 하는 c 는 중앙값이다. 어느 손실을 고르는가가 어느 대표값을 고르는가를 정한다.
증명.
(1)제곱 쪽은 증명 65 에서 얻었다. S(c) 를 최소로 하는 c 는 x̄ 뿐이다.A14, D2
(2)이제 절댓값 쪽을 본다. n = 2m + 1 이고 x₁ ≤ x₂ ≤ ⋯ ≤ xₙ 이라 하자.가정, D1
(3)k = 1, …, m 에 대하여 L1 을 a = x_k, b = x_{n+1−k} 에 적용하면 |c − x_k| + |c − x_{n+1−k}| ≥ x_{n+1−k} − x_k 이고, 등호는 x_k ≤ c ≤ x_{n+1−k} 일 때뿐이다.(2), L1
(4)남는 항은 |c − x₍ₘ₊₁₎| 하나다. 이는 0 이상이며 0 이 되는 것은 c = x₍ₘ₊₁₎ 일 때뿐이다.(2), D2, A10
(5)K = Σ_{k≤m}(x_{n+1−k} − x_k) 라 하면 L(c) ≥ K + |c − x₍ₘ₊₁₎|(3), (4), D2, A7
(6)x₍ₘ₊₁₎ 은 모든 k ≤ m 에 대하여 x_k ≤ x₍ₘ₊₁₎ ≤ x_{n+1−k} 이므로 c = x₍ₘ₊₁₎ 에서 (3) 의 등호가 모두 성립하고 남는 항은 0 이다. 즉 L(x₍ₘ₊₁₎) = K(2), (3), (4)
(7)c ≠ x₍ₘ₊₁₎ 이면 0 < |c − x₍ₘ₊₁₎| 이므로 K < K + |c − x₍ₘ₊₁₎| ≤ L(c)(4), (5), A7, A3, A2
(8)그러므로 L(x̃) < L(c) 이고, L 을 최소로 하는 c 는 중앙값 x̃ 뿐이다.(6), (7), D1
(9)n 이 짝수이면 남는 항이 없고 가운데 두 값 사이의 모든 c 에서 (3) 의 등호가 성립하므로 최소가 하나로 정해지지 않는다.(3), (5)
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정리 T2
자료 쌍 (xᵢ, yᵢ) 에 대하여 dᵢ = xᵢ − x̄, eᵢ = yᵢ − ȳ 라 하자. Σdᵢeᵢ = 0 이면 x + y 의 제곱합은 x 의 제곱합과 y 의 제곱합의 합이다.
증명.
(1)Σ(xᵢ + yᵢ) = Σxᵢ + Σyᵢ = n x̄ + n ȳ = n(x̄ + ȳ) 이므로 x + y 의 평균은 x̄ + ȳ 이다.A11, D1, A5, E
(2)(xᵢ + yᵢ) − (x̄ + ȳ) = dᵢ + eᵢ(1), A1, A2, A3, A4
(3)(dᵢ + eᵢ)² = dᵢ² + 2dᵢeᵢ + eᵢ²(2), A13
(4)Σ((xᵢ+yᵢ) − (x̄+ȳ))² = Σdᵢ² + 2Σdᵢeᵢ + Σeᵢ²(3), D2, A11, A12
(5)Σdᵢeᵢ = 0 이라 하자. 그러면 가운데 항이 0 이므로 제곱합은 정확히 더해진다.가정, (4), A3
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정리 T3
같은 조건에서도 절댓값합은 더해지지 않는다.
증명.
(1)자료 x = (1, 1, −1, −1), y = (1, −1, 1, −1) 을 보자. x̄ = ȳ = 0 이므로 dᵢ = xᵢ, eᵢ = yᵢ 이다.D1, N
(2)Σdᵢeᵢ = 1 + (−1) + (−1) + 1 = 0 이므로 이 자료는 T2 의 조건을 만족한다.(1), N, T2
(3)x + y = (2, 0, 0, −2) 이고 그 평균은 0 이므로 L_{x+y} = 2 + 0 + 0 + 2 = 4(1), D1, D2, N
(4)L_x = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, L_y = 4 이므로 L_x + L_y = 8(1), D2, N
(5)4 ≠ 8 이므로 절댓값합은 더해지지 않는다.(3), (4), N
(6)같은 자료에서 S_x = 4, S_y = 4, S_{x+y} = 4 + 0 + 0 + 4 = 8 이므로 제곱합은 더해진다.(1), D2, N, T2
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정리 T4
f(t) = t² 는 모든 t 에서 미분가능하지만 g(t) = |t| 는 t = 0 에서 미분가능하지 않다.
증명.
(1)(t²)′ = 2t 이므로 f 는 모든 t 에서 미분가능하다.A17
(2)g(0) = 0 이다.D2
(3)0 < h 이면 (g(h) − g(0))·h⁻¹ = h·h⁻¹ = 1(2), D2, A19, A3
(4)h < 0 이면 (g(h) − g(0))·h⁻¹ = (−h)·h⁻¹ = −(h·h⁻¹) = −1(2), D2, A6, A19, A3
(5)0 < 1 의 양변에 −1 을 더하면 −1 < 0 이고, 추이성에 의해 −1 < 1 이므로 삼분법에 의해 1 ≠ −1A18, A7, A2, A3, A4, A9, A10
(6)차분몫이 h → 0 에서 하나의 값에 가까워진다면 그 값은 1 이면서 −1 이어야 한다.(3), (4), A16
(7)이는 (5) 에 모순이므로 극한이 없고, g 는 0 에서 미분가능하지 않다.(5), (6), A15
(8)L(c) 의 각 항 |c − xᵢ| 도 같은 이유로 c = xᵢ 에서 미분가능하지 않다.(7), D2
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따름정리 C
제곱과 절댓값 가운데 무엇을 고르는가는 옳고 그름이 아니라 무엇이 함께 따라오는가의 문제다.
증명.
(1)제곱을 고르면 대표값은 평균이 되고, 절댓값을 고르면 대표값은 중앙값이 된다.T1
(2)제곱을 고르면 무상관인 두 자료의 흩어짐이 더해지고, 절댓값에서는 같은 조건에서도 더해지지 않는다.T2, T3
(3)제곱을 고르면 손실이 모든 점에서 미분가능하고, 절댓값을 고르면 자료의 값에서 미분가능하지 않다.T4
(4)자료 1, 2, 3, 4, 100 의 평균은 22 이고 중앙값은 3 이다.D1, N
(5)100 을 1000 으로 바꾸면 평균은 202 가 되고 중앙값은 3 그대로다.D1, N
(6)그러므로 절댓값을 고르면 한 자료가 크게 움직여도 대표값이 따라 움직이지 않는다.(4), (5), T1
(7)두 선택은 서로 다른 성질을 준다. 어느 하나가 다른 하나를 대신하지 않는다.(1), (2), (6)
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