당신의 카드번호를 지키는 건, 인수분해가 어렵다는 사실
(x+2)(x+3)을 펼치는 건 기계적으로 된다. 그럼 x²+5x+6을 거꾸로 접을 수 있을까?
펼친 식을 곱셈 블록으로 되돌리기, 인수분해
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — x²+5x+6 = (x+□)(x+□). 빈칸에 들어갈 두 수는 무엇일까요?
퍼즐 1
퍼즐: x² + 5x + 6 를 접어라
곱해서 6, 더해서 5가 되는 쌍을 고르세요. 전개해서 검산해 드립니다.
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
식을 전개하면 정보가 숨습니다. x²+5x+6에서는 아무것도 안 보이지만, (x+2)(x+3)에서는 언제 0이 되는지(x=−2, −3)가 즉시 보여요.
방정식 풀이의 핵심 무기가 여기서 나옵니다. A×B=0이면 A=0 또는 B=0이에요. 곱으로 쪼개는 순간 이차방정식이 일차방정식 두 개로 갈라집니다.
수를 소수로 분해하듯 식을 인수로 분해합니다. 자연수의 소인수분해와 정확히 같은 정신이에요. 분해하면 구조가 보이고, 구조가 보이면 문제가 풀립니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“인수분해는 식의 소인수분해다.”
60 = 2²×3×5에서 60의 성질이 읽히듯, x²+5x+6 = (x+2)(x+3)에서 식의 성질(근, 부호, 그래프의 x절편)이 읽힙니다. 분해는 이해예요.
“곱셈공식은 외우는 게 아니라 다시 쓰는 것이다.”
(a+b)(a−b) = a²−b²는 넓이 그림 한 장으로 유도됩니다. 유도 과정을 아는 공식은 잊어도 복원할 수 있어요. 그것이 공식을 '소유'하는 방법입니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
전개와 인수분해는 서로 다른 두 가지 기술이다.
같은 등식을 두 방향으로 읽는 것뿐입니다. (x+2)(x+3) = x²+5x+6에서 왼쪽에서 오른쪽이 전개, 오른쪽에서 왼쪽이 인수분해예요. 전개가 기계적이라면 인수분해는 퍼즐입니다. 방향에 따라 난이도가 달라져요.
모든 이차식은 인수분해된다.
정수(유리수) 범위에서는 x²+x+1처럼 분해되지 않는 식이 많습니다. 인수분해가 되는지 안 되는지 자체가 정보예요. 판별식이 그것을 알려주는 도구가 됩니다.
Formula
수식으로 정리하기
짝 사냥과 암산 마술에서 쓴 도구를 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 짝 사냥 게임과 짝지어 보기
+ x + =
기본 꼴
'곱해서 상수항, 더해서 x의 계수'인 두 수 a, b를 찾으면 분해 끝입니다. 짝 사냥의 정체예요.
합차공식
제곱의 차는 합×차로 쪼개집니다. 97×103 = (100−3)(100+3) = 10000−9라는 암산 마술의 원리예요.
완전제곱식
가운데 항이 '두 배'인지 확인하는 게 열쇠입니다. 이차방정식의 근의 공식(완전제곱 만들기)이 여기서 출발해요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
이차방정식 풀기
x²+5x+6=0을 (x+2)(x+3)=0으로 바꾸면 x=−2 또는 −3입니다. 곱이 0이면 어느 한 인수가 0이에요. 인수분해는 방정식을 여는 만능 열쇠입니다.
빠른 암산
98² = (100−2)² = 10000−400+4 = 9604입니다. 곱셈공식을 아는 사람에게 100 근처의 곱셈은 전부 암산 거리예요.
암호와 인수분해
RSA 암호의 안전성은 '큰 수의 인수분해는 어렵다'에 서 있습니다. 식의 인수분해와 수의 인수분해가 같은 단어인 것은 우연이 아니에요.
공학의 식 정리
제어공학의 전달함수와 신호처리의 필터 설계는 다항식을 인수분해해 근의 위치로 시스템의 성질을 읽습니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
x² + 8x + 15를 인수분해하면?
52² − 48²을 암산으로 구하면?
x² + 4x + 4를 인수분해하면?
합차공식을 써서 98 × 102를 암산하면?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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Connection
개념은 이어진다
이전 개념
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