PROOF 24
증명하라.
f(a) = 0 이면 (x−a) 가 인수다
다항식 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
(x − a) 가 f 의 인수라는 것은 f(x) = (x − a)q(x) 인 다항식 q 가 존재한다는 뜻이다.
증명.
인수는 나머지 없이 나누어떨어지는 것을 말한다.약속
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보조정리 L1
f 를 (x − a) 로 나눈 나머지는 f(a) 이다.
증명.
(1)f(x) = (x − a)q(x) + r 인 다항식 q 와 상수 r 이 존재한다.A1
(2)양변에 x = a 를 대입한다.(1), A5
(3)f(a) = (x − a)(a) · q(a) + r(a)(2), A2, A3
(4)(x − a)(a) = a − a = 0A2, A4, A6
(5)r 은 상수이므로 r(a) = rA4
(6)f(a) = 0 × q(a) + r = 0 + r(3), (4), (5), A7
(7)f(a) = r(6), A8
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정리 T
f(a) = 0 인 것과 (x − a) 가 f 의 인수인 것은 서로 같다.
증명.
(1)(x − a) 가 f 의 인수라 하자.가정
(2)f(x) = (x − a)q(x) 인 q 가 있다.(1), D1
(3)대입하면 f(a) = (x − a)(a) · q(a)(2), A5, A3
(4)(x − a)(a) = 0 이므로 f(a) = 0 × q(a) = 0(3), A2, A4, A6, A7
(5)거꾸로 f(a) = 0 이라 하자.가정
(6)f(x) = (x − a)q(x) + r 이고 r = f(a) 이다.A1, L1
(7)r = 0(5), (6)
(8)f(x) = (x − a)q(x) + 0 = (x − a)q(x)(6), (7), A8
(9)그러므로 (x − a) 는 f 의 인수다.(8), D1
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
정리의 두 방향을 따로 보라. 한쪽은 정의와 대입만 쓰고, 다른 쪽은 그렇지 않다.