PROOF 23
증명하라.
곱셈공식은 분배법칙에서 나온다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a − b 는 a + (−b) 를 뜻하고, a² 은 a × a 를 뜻한다.
증명.
뺄셈과 제곱은 새 연산이 아니라 표기다.약속
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보조정리 L1
모든 a, b, c, d 에 대하여 (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
증명.
(1)(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)dA1, A2
(2)(a + b)c = ac + bcA1, A2
(3)(a + b)d = ad + bdA1, A2
(4)(a + b)(c + d) = (ac + bc) + (ad + bd)(1), (2), (3)
(5) = ac + ad + bc + bd(4), A5, A6
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정리 T1
모든 a, b 에 대하여 (a + b)² = a² + 2ab + b²
증명.
(1)(a + b)² = (a + b)(a + b)D1
(2)L1 에 c = a, d = b 를 넣으면 (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bbL1
(3)aa = a², bb = b²D1
(4)ba = abA2
(5)ab + ab = (1 + 1)ab = 2abA1, A2, A3
(6)(a + b)² = a² + 2ab + b²(1), (2), (3), (4), (5), A5, A6
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따름정리 C
모든 a, b 에 대하여 (a + b)(a − b) = a² − b²
증명.
(1)(a + b)(a − b) = (a + b)(a + (−b))D1
(2)L1 에 c = a, d = −b 를 넣으면 = aa + a(−b) + ba + b(−b)(1), L1
(3)aa = a², a(−b) = −(ab)D1, A4
(4)ba = ab, b(−b) = −(bb) = −(b²)A2, A4, D1
(5)(−(ab)) + ab = 0A6, A7
(6)(a + b)(a − b) = a² + 0 + (−(b²)) = a² − b²(2), (3), (4), (5), A5, A6, A8, D1
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 공식이 각각 따로 무너지는지, 함께 무너지는지 확인하라.