PROOF 111
증명하라.
AB = 0 이면 A = 0 또는 B = 0
체 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a 의 곱셈 역원은 a·a⁻¹ = 1 을 만족하는 원소 a⁻¹ 이다.
증명.
(1)여기서 1 은 A7 의 항등원이다.A7
(2)역원이 있는지는 이 정의가 묻지 않는다. A8 이 답한다.약속
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보조정리 L1
모든 a 에 대하여 a × 0 = 0
증명.
(1)0 + 0 = 0A2
(2)a(0 + 0) = a × 0(1), E
(3)a×0 + a×0 = a×0(2), A4
(4)양변에 −(a×0) 을 더한다.(3), E
(5)좌변 = a×0 + (a×0 + (−(a×0))) = a×0 + 0 = a×0A3, A1, A2
(6)우변 = 0A1
(7)a × 0 = 0(4), (5), (6)
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정리 T1
체에서 AB = 0 이면 A = 0 또는 B = 0
증명.
(1)AB = 0 이고 A ≠ 0 이라 하자.가정
(2)A ≠ 0 이므로 A·A⁻¹ = 1 인 A⁻¹ 이 있다.(1), A8, D1
(3)A⁻¹(AB) = A⁻¹ × 0(1), (2), E
(4)A⁻¹ × 0 = 0L1
(5)A⁻¹(AB) = (A⁻¹A)B = 1 × B = B(2), A5, A6, A7
(6)B = 0(3), (4), (5)
(7)그러므로 A = 0 이거나 B = 0 이다.(1), (6)
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정리 T2
법 6 의 셈에서는 T1 의 결론이 성립하지 않는다.
증명.
(1)0, 1, 2, 3, 4, 5 를 원소로 하고 합과 곱을 6 으로 나눈 나머지로 정한다.약속, A9
(2)이 셈에서 A1~A7 은 정수의 것을 그대로 물려받는다.A9, 약속
(3)2 × 3 = 6 이고 6 ≡ 0 이므로 이 셈에서 2 × 3 = 0 이다.A9, A10
(4)2 ≠ 0 이고 3 ≠ 0 이다.A12
(5)곱이 0 인데 두 인수는 모두 0 이 아니다.(3), (4)
(6)2t ≡ 1 인 t 가 있다면 6 은 2t − 1 을 나눈다.A9
(7)6 의 배수는 짝수이고 2t − 1 은 홀수이므로 그런 t 는 없다.(6), A11
(8)2 에는 곱셈 역원이 없다. 이 셈은 A8 을 갖추지 못한다.(7), D1
(9)곱이 0 인데 두 인수가 모두 0 이 아닐 때, 그 두 원소를 영인자라 한다.(5), 약속
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따름정리 C
2차 정사각행렬에도 영인자가 있다.
증명.
(1)A 는 (1,1) 성분만 1 인 행렬, B 는 (2,2) 성분만 1 인 행렬로 둔다.약속
(2)AB 의 네 성분은 모두 1×0 또는 0×0 의 합이다.(1), A13
(3)그 값은 모두 0 이므로 AB = O 이다.(2), L1, A2
(4)A ≠ O 이고 B ≠ O 이다.(1)
(5)그러므로 A 와 B 는 영인자다.(3), (4), T2
(6)A⁻¹A = I 인 A⁻¹ 이 있다면 A⁻¹(AB) = (A⁻¹A)B = IB = B 이고 A⁻¹O = O 이다.약속, A14, A15
(7)그러면 B = O 이 되어 (4) 에 어긋난다.(3), (4), (6)
(8)그러므로 A 에는 역행렬이 없다.(7)
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비고
A8 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
T1 의 증명에서 A 를 지우는 데 쓰는 것이 무엇인지 보라. 그 자리에 다른 것을 넣을 수 있는지도.