PROOF 110
증명하라.
인수분해는 곱셈공식을 거꾸로 읽는 것이다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
계수를 고를 범위를 먼저 정한 뒤, 다항식 f 에 대하여 f = gh 를 만족하는 그 범위의 다항식 g, h 를 찾는 것을 인수분해라 한다. 단 g 와 h 는 상수가 아니다.
증명.
인수분해는 새 식을 만드는 것이 아니라 이미 있는 f 를 곱의 꼴로 다시 쓰는 것이다. 계수 범위를 정하지 않으면 이 물음은 뜻을 갖지 않는다.약속
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정의 D2
곱의 꼴로 쓰인 식에 분배법칙을 되풀이 적용하여 항의 합으로 고치는 것을 전개라 한다.
증명.
전개는 등식을 고쳐 쓰는 것이므로 결과는 원래 식과 같은 값을 갖는다.약속
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정의 D3
a − b 는 a + (−b) 를 뜻한다.
증명.
뺄셈은 새 연산이 아니라 표기다.약속
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정리 T1
두 다항식의 곱은 언제나 전개된다. 그러나 계수를 실수에서 고르면 x² + 1 은 인수분해되지 않는다.
증명.
(1)곱의 꼴로 쓰인 식은 분배법칙을 되풀이 적용하여 항의 합이 된다.D2, A1
(2)이 과정은 계수 범위를 묻지 않으므로 전개는 언제나 끝난다.(1)
(3)이제 계수를 실수에서 고르고, x² + 1 = g(x)h(x) 인 g, h 가 있다고 하자.가정, D1
(4)deg g + deg h = 2(3), A3
(5)g 와 h 는 상수가 아니므로 차수가 1 이상이고, 따라서 둘 다 1차다.(4), D1
(6)g(x) = ax + b 이고 a ≠ 0 이므로 g(α) = 0 인 실수 α 가 있다.(5), A4
(7)α² + 1 = g(α)h(α) = 0 × h(α) = 0(3), (6), A5, A6
(8)그러므로 α² = −1(7), A10
(9)그런데 실수 α 에 α² = −1 은 없다.A7
(10)모순이다. 실수 계수에서 x² + 1 은 인수분해되지 않는다.(8), (9)
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정리 T2
f = gh 가 인수분해이면 gh 를 전개한 결과는 f 이다.
증명.
(1)f = gh 라 하자.가정, D1
(2)gh 를 전개하면 항의 합이 되고, 그 결과는 gh 와 같다.D2, A1
(3)그러므로 전개의 결과는 f 와 같다.(1), (2)
(4)인수분해는 f = gh 를 왼쪽에서 오른쪽으로 읽고, 전개는 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는다.(3), D1, D2
(5)두 조작은 서로 다른 두 규칙이 아니라 같은 등식 하나를 읽는 두 방향이다.(4)
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따름정리 C
계수를 복소수에서 고르면 x² + 1 = (x + i)(x − i) 이다.
증명.
(1)(x + i)(x − i) = x² − i²A2
(2)i² = −1A8
(3)x² − i² = x² + (−(−1)) = x² + 1(1), (2), D3, A9
(4)x + i 와 x − i 는 상수가 아니므로 이것은 인수분해다.(3), D1
(5)같은 다항식이 계수 범위에 따라 인수분해되기도 하고 되지 않기도 한다.(4), T1
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비고
A7 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
계수 범위가 실수라는 사실이 이 증명 안으로 들어오는 자리를 찾아라. 그 자리는 하나뿐이다.