PROOF 188
증명하라.
유리수는 조밀한데도 빈틈이 있다
순서를 가진 체 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
무대는 순서를 가진 체다.
증명.
사칙연산(F)과 순서(A1~A6, A9)를 함께 갖춘 체계를 순서체라 한다. ℚ 와 ℝ 이 그 예다.약속
∎
정의 D2
A = { q ∈ ℚ : q < 0 또는 q² < 2 } 로 둔다.
증명.
(1)s 가 A 의 상계라는 것은 모든 q ∈ A 에 대하여 q ≤ s 임을 뜻한다.약속
(2)최소 상계는 상계 가운데 가장 작은 것이다.약속
∎
보조정리 L1
1 < 2, 0 < 2, 0 < 1/2.
증명.
(1)0 < 1 의 양변에 1 을 더하면 1 < 1 + 1 = 2.A1, A2, 약속
(2)0 < 1 < 2 이므로 0 < 2.A1, (1), A4
(3)0 < 2 이므로 0 < 1/2.(2), A6
∎
보조정리 L2
0 < s 일 때 s′ = (2s+2)/(s+2) 로 두면 s′² − 2 = 2(s² − 2)/(s+2)² 이고 s − s′ = (s² − 2)/(s+2) 이다.
증명.
(1)0 < s 의 양변에 2 를 더하면 2 < s + 2. 0 < 2 이므로 0 < s + 2 — 분모는 0 이 아니다.A2, L1, A4
(2)s′² − 2 = ((2s+2)² − 2(s+2)²) / (s+2)² — 통분한다.(1), F, E
(3)(2s+2)² − 2(s+2)² = (4s² + 8s + 4) − (2s² + 8s + 8) = 2s² − 4 = 2(s² − 2)F, E
(4)그러므로 s′² − 2 = 2(s² − 2)/(s+2)² — s² − 2 와 부호가 같다.(2), (3), E
(5)s − s′ = (s(s+2) − (2s+2))/(s+2) = (s² − 2)/(s+2).(1), F, E
∎
보조정리 L3
0 < u < v 이면 u² < v².
증명.
(1)u < v 의 양변에 u (> 0) 를 곱하면 u² < uv.A3
(2)u < v 의 양변에 v (> 0) 를 곱하면 uv < v².A3, A4, F
(3)u² < v².(1), (2), A4
∎
정리 T1
a < b 인 유리수 a, b 사이에는 유리수가 있다 — ℚ 는 조밀하다.
증명.
(1)c = (a + b)/2 로 둔다. c 는 유리수다.약속, F
(2)a < b 의 양변에 a 를 더하면 a + a < a + b. 양변에 b 를 더하면 a + b < b + b.A2, F
(3)1/2 (> 0) 을 곱하면 a < c 그리고 c < b.(1), (2), L1, A3, F, E
(4)a < c < b — 아무리 가까운 두 유리수 사이에도 유리수가 있다.(3)
∎
정리 T2
A 는 위로 유계지만, ℚ 안에는 A 의 최소 상계가 없다.
증명.
(1)2 ≤ q 이면 4 ≤ q² 이고 2 < 4 이므로 2 < q² — 그런 q 는 A 에 없다. 그러므로 2 는 A 의 상계다.D2, L1, L3, A2, A4, A5
(2)s ∈ ℚ 를 A 의 상계라 하자.가정, D2
(3)1² = 1 < 2 이므로 1 ∈ A. 그러므로 1 ≤ s, 특히 0 < s.D2, L1, A1, A4, F
(4)s² = 2 는 불가능하다.(2), A7
(5)s² < 2 라 하자. 그러면 s ∈ A 이고, s′ − s = (2 − s²)/(s+2) > 0, 2 − s′² = 2(2 − s²)/(s+2)² > 0.가정, (3), D2, L2, A2, A6, A9, E
(6)즉 s′ ∈ A 인데 s < s′ — s 가 상계라는 것에 모순. 상계는 s² < 2 일 수 없다.(2), (5), D2, A2
(7)남는 경우는 2 < s² 뿐이다.(4), (6), A5
(8)그때 s′² − 2 = 2(s² − 2)/(s+2)² > 0 이고 s − s′ = (s² − 2)/(s+2) > 0 — 0 < s′ < s.(3), (7), L2, A2, A6, A9
(9)q ∈ A, 0 < q 이면 q² < 2 < s′² 이므로 q < s′ (s′ ≤ q 이면 s′² ≤ q² 이 되어 모순). q ≤ 0 인 q 도 q < s′. 그러므로 s′ 은 A 의 상계다.(8), D2, L3, A4, A5
(10)모든 상계 s 보다 작은 상계 s′ 이 있다. 상계 가운데 가장 작은 것은 ℚ 안에 없다.(8), (9), D2
∎
따름정리 C
조밀함과 완비성은 다른 성질이다. 최소 상계를 보장하는 공리를 더한 순서체가 ℝ 이다.
증명.
(1)ℚ 는 조밀하다(T1). 그런데도 A 의 최소 상계 자리는 ℚ 에서 비어 있다(T2).T1, T2
(2)조밀함은 빈틈을 막지 못한다. 촘촘함과 빈틈 없음은 서로 다른 성질이다.(1)
(3)ℝ 에서는 완비성 공리에 의해, 위로 유계인 A 가 최소 상계를 갖는다.T2, A8, D1
(4)같은 집합, 같은 순서 — 둘을 가르는 것은 공리 하나다. 그 공리를 받아들인 순서체가 ℝ 이다.(1), (3), D1
∎
비고
A8 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
T1 과 T2 는 A8 없이 서 있다. A8 이 실제로 쓰이는 자리가 어디인지 확인하라.