PROOF 140
증명하라.
유리수에서는 중간값 정리가 성립하지 않는다
유리수 ℚ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
f 가 집합 I 의 점 p 에서 연속이라는 것은, 임의의 ε > 0 에 대하여 δ > 0 이 있어 x ∈ I 이고 |x − p| < δ 이면 |f(x) − f(p)| < ε 임을 뜻한다.
증명.
(1)ε 과 δ 는 무대 안의 수, 곧 유리수 중에서 잡는다. 무대에 다른 수는 없다.약속
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정의 D2
I = {x ∈ ℚ : 1 ≤ x ≤ 2} 라 하고, I 위에서 f(x) = x² − 2 로 둔다.
증명.
(1)x ∈ ℚ 이면 x² − 2 ∈ ℚ 이므로 f 의 값은 모두 무대 안에 있다.A1
(2)이 무대에 완비성 공리는 없다. 쓸 수 있는 것은 체 공리와 순서 공리뿐이다.약속
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보조정리 L1
x, p ∈ I 이면 |x + p| ≤ 4 이다.
증명.
(1)x ∈ I 이므로 1 ≤ x ≤ 2 이다.D2
(2)0 < 1 이므로 −2 < 0 < 1 ≤ x 이고, 따라서 −2 ≤ x ≤ 2, 즉 |x| ≤ 2 이다.(1), A7, A2, A5, A8
(3)p ∈ I 이므로 같은 이유로 |p| ≤ 2 이다.(2), D2
(4)|x + p| ≤ |x| + |p| ≤ 2 + 2 = 4(2), (3), A11, A2, A5, A1
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보조정리 L2
f 는 I 의 모든 점에서 연속이다.
증명.
(1)p ∈ I 와 ε > 0 이 주어졌다 하자.가정, D2
(2)δ = ε/4 로 둔다. ℚ 는 체이므로 δ ∈ ℚ 이고, 4 > 0 이므로 δ > 0 이다.(1), A1, A7, A2, A6, A3
(3)x ∈ I 이고 |x − p| < δ 라 하자.가정
(4)f(x) − f(p) = (x² − 2) − (p² − 2) = x² − p² = (x + p)(x − p)D2, A1, E
(5)|f(x) − f(p)| = |x + p| · |x − p|(4), A10, E
(6)|x − p| ≥ 0 이고 |x + p| ≤ 4 이므로 |f(x) − f(p)| ≤ 4|x − p| < 4δ = ε(5), (3), (2), L1, A9, A4, A3, A1
(7)임의의 ε > 0 에 대하여 그러한 δ 가 있으므로 f 는 p 에서 연속이다.(6), D1
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보조정리 L3
f(1) < 0 < f(2) 이고 1, 2 ∈ I 이다.
증명.
(1)f(1) = 1 × 1 − 2 = −1 이다.D2, A1
(2)0 < 1 의 양변에 −1 을 더하면 −1 < 0 이다.A7, A2, A1
(3)0 < 1 의 양변에 1 을 더하면 1 < 2 이고, 추이성에 의해 0 < 2 이다.A7, A2, A5, A1
(4)f(2) = 2 × 2 − 2 = 2 이다.D2, A1
(5)그러므로 f(1) = −1 < 0 < 2 = f(2) 이다.(1), (2), (3), (4)
(6)1 ≤ 1 ≤ 2 이고 1 ≤ 2 ≤ 2 이므로 1 과 2 는 I 의 원소다.(3), D2
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정리 T
f 는 I 에서 연속이고 f(1) < 0 < f(2) 이지만, f(c) = 0 인 c ∈ I 는 존재하지 않는다.
증명.
(1)f 는 I 의 모든 점에서 연속이다.L2
(2)1, 2 ∈ I 이고 f(1) < 0 < f(2) 이다.L3
(3)c ∈ I 이고 f(c) = 0 이라 하자.가정
(4)c² − 2 = 0 이므로 양변에 2 를 더하면 c² = 2 이다.(3), D2, A1, E
(5)c ∈ I ⊆ ℚ 이므로 이는 A12 에 모순이다.(4), (3), D2, A12
(6)그러므로 f(c) = 0 인 c ∈ I 는 없다.(5)
(7)(1)(2)(6) 이 함께 성립하므로, 중간값 정리의 가정은 만족되고 결론은 거짓이다.(1), (2), (6)
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따름정리 C
중간값 정리는 체 공리와 순서 공리만으로는 증명되지 않는다.
증명.
(1)중간값 정리가 체 공리와 순서 공리만으로 증명된다 하자.가정
(2)ℚ 는 그 공리를 모두 만족하므로 그 증명은 ℚ 에서도 그대로 성립한다.(1), A1, A2, A3, A4, A5, A7
(3)그런데 T 의 f 는 가정을 만족하면서 결론을 만족하지 않는다.T
(4)모순이다. 그러므로 중간값 정리에는 이 공리들에 없는 것이 하나 더 필요하다.(2), (3)
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비고
A12 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
A12 는 T 의 (5) 에서 단 한 번 쓰인다. 그 한 줄이 무엇을 붙들고 있는지 확인하라.