PROOF 85
증명하라.
유리수와 무리수의 합은 무리수다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a − b 는 a + (−b) 를 뜻한다.
증명.
뺄셈은 새 연산이 아니라 덧셈 역원을 더하는 것이다.약속
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정의 D2
α 가 무리수라는 것은 α 가 실수이고 유리수가 아님을 뜻한다.
증명.
조건은 둘이다. 실수라는 것, 유리수가 아니라는 것.약속
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보조정리 L1
q 가 유리수이면 −q 도 유리수다.
증명.
(1)0 − q = 0 + (−q)D1
(2)0 + (−q) = (−q) + 0 = −qA5, A7
(3)0 은 유리수다.A8
(4)q 도 유리수이므로 0 − q 는 유리수다.가정, (3), A3
(5)그러므로 −q 는 유리수다.(1), (2), (4), E
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정리 T1
q 가 유리수이고 α 가 무리수이면 q + α 는 무리수다.
증명.
(1)q + α 가 유리수라 하자.가정, D2
(2)−q 는 유리수다.L1
(3)그러므로 (q + α) + (−q) 는 유리수다.(1), (2), A2
(4)(q + α) + (−q) = (α + q) + (−q)A5
(5) = α + (q + (−q))A4
(6) = α + 0 = αA6, A7
(7)그러므로 α 는 유리수다.(3), (4), (5), (6), E
(8)이는 α 가 무리수라는 것에 어긋난다.(1), (7), D2
(9)q + α 는 실수이면서 유리수가 아니다. 곧 무리수다.(8), A1, D2
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따름정리 C
무리수와 무리수의 합은 무리수가 아닐 수 있다.
증명.
(1)√2 는 실수이고 유리수가 아니므로 무리수다.A9, D2
(2)−√2 가 유리수라 하자.가정
(3)그러면 (−√2) + √2 는 무리수다.(1), (2), T1
(4)(−√2) + √2 = √2 + (−√2) = 0A5, A6
(5)0 은 유리수다.A8
(6)(3)(4)(5)는 함께 설 수 없다. 그러므로 −√2 는 무리수다.(3), (4), (5), D2, E
(7)√2 와 −√2 는 모두 무리수이고, 그 합은 0 이다.(1), (6), (4)
(8)0 은 유리수이므로 그 합은 무리수가 아니다.(7), (5), D2
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비고
A3 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
증명은 q + α 에서 q 를 빼내 α 를 되찾는다. 그 되찾는 조작이 무엇에 기대는지 확인하라.