PROOF 57
증명하라.
피타고라스의 역도 참이다
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
명제 p → q 에 대하여 q → p 를 그 역이라 한다.
증명.
(1)역은 가정과 결론을 맞바꾼 형태이며, 형태만을 가리킨다.약속
(2)원래 명제가 참이라는 것에서 그 역의 참·거짓은 정해지지 않는다.(1), A1
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정의 D2
세 변의 길이가 모두 같은 삼각형을 정삼각형, 두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라 한다.
증명.
(1)정삼각형은 이등변삼각형의 특수한 경우다.약속
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정리 T1
「정삼각형이면 이등변삼각형이다」는 참이지만 그 역은 거짓이다. 그러므로 역은 원래 명제에서 따라 나오지 않는다.
증명.
(1)p 를 「T 는 정삼각형이다」, q 를 「T 는 이등변삼각형이다」로 둔다.약속, D2
(2)세 변이 모두 같으면 그중 두 변도 같으므로 p → q 는 참이다.(1), D2
(3)2 + 2 > 3 이고 2 + 3 > 2 이므로 세 변이 2, 2, 3 인 삼각형 T₀ 가 존재한다.A5
(4)T₀ 는 두 변이 같으므로 이등변삼각형이고, 세 변이 같지 않으므로 정삼각형이 아니다.(3), D2
(5)T₀ 에서 q 는 참이고 p 는 거짓이므로 q → p 는 거짓이다.(1), (4), D1
(6)p → q 는 참인데 q → p 는 거짓이다. 그러므로 역은 원래 명제에서 따라 나오지 않는다.(2), (5), A1
(7)그러므로 A2 가 참이라는 것만으로는 「a² + b² = c² 이면 ∠C = 90°」를 얻을 수 없다. 역은 따로 증명해야 한다.(6), A1, A2, D1
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정리 T2
삼각형 ABC 에서 a = BC, b = CA, c = AB 라 하자. a² + b² = c² 이면 ∠C = 90° 이다.
증명.
(1)a² + b² = c² 라 하자.가정
(2)C′B′ = a, C′A′ = b, ∠C′ = 90° 인 삼각형 A′B′C′ 이 존재한다.A4
(3)삼각형 A′B′C′ 은 C′ 에서 직각이므로 A′B′² = a² + b²(2), A2
(4)A′B′² = c²(1), (3), E
(5)A′B′ > 0 이고 c > 0(2), A7
(6)A′B′ = c(4), (5), A8
(7)BC = C′B′ = a, CA = C′A′ = b, AB = A′B′ = c 이므로 두 삼각형은 세 변이 각각 같다.(2), (6), 약속
(8)삼각형 ABC 와 삼각형 A′B′C′ 은 합동이다.(7), A3
(9)대응각이 같으므로 ∠C = ∠C′ = 90°(2), (8), A6
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비고
A3 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
이 증명은 삼각형을 하나 새로 그려 원래 삼각형과 맞대어 본다. 두 삼각형을 맞댈 때 무엇이 필요한지 확인하라.