∠ · 각도
벌어진 정도를 재는 자, 각도
시계가 정각 3시 — 두 바늘 사이의 벌어짐은 얼마라고 말해야 할까?
바빌로니아가 물려준 숫자, 360
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
문이 얼마나 열렸는지, 언덕이 얼마나 가파른지. '벌어진 정도'는 길이의 자로 잴 수 없는 양입니다. 벌어짐 전용 자가 필요했어요.
기준은 회전 한 바퀴입니다. 옛 바빌로니아 사람들이 한 바퀴를 360칸으로 나눈 눈금을 만들었어요. 360은 2로도 3으로도 4로도 나누어떨어지는 편리한 수였거든요.
이 자 하나로 직각 90°, 평각 180°가 정해집니다. 도형의 성질도, 삼각비도, 회전의 수학도 전부 이 눈금 위에서 시작됩니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 정각 3시, 12시 방향에서 시침까지 벌어진 각은?
시침을 돌려보세요
시간 버튼을 누르면 시침이 움직입니다. 한 시간에 몇 도씩 벌어지나요?
∠ = 90°
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
각은 두 선의 길이가 아니라 두 방향 사이의 벌어짐입니다. 선을 더 길게 그려도 방향이 그대로라면 각의 크기는 달라지지 않습니다.
종이 위의 두 선을 각각 두 배 길게 늘려 보세요. 두 선 사이의 회전량은 같습니다. 반대로 한 선의 끝을 같은 거리에 둔 채 방향을 바꾸면 각은 달라집니다.
각도는 길이가 아니라 회전의 양이다.
부채를 조금 펴면 작은 각, 활짝 펴면 큰 각입니다. 부챗살의 길이는 상관없어요. 벌어짐을 회전으로 보는 눈이 나중에 삼각함수로 이어집니다.
360은 우연이 아니라 나눗셈의 편의다.
360은 약수가 24개나 됩니다. 그래서 반으로, 셋으로, 넷으로 나눠도 전부 딱 떨어져요. 약수와 배수 실험실의 감각이 눈금 설계에 들어 있습니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
도와 라디안은 각을 표현하는 서로 다른 단위입니다. 계산할 때 단위를 섞지 않습니다.
시계 실험에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 시계 바늘 실험과 짝지어 보기
= ×
각도의 정의
한 바퀴를 360칸으로 나눈 한 칸이 1°입니다. 시계의 시침은 한 시간에 30°씩 돌아요.
각의 분류
기준점은 직각 90°와 평각 180° 둘뿐입니다. 90°보다 작으면 예각, 사이면 둔각이에요.
맞꼭지각
한 각만 재면 나머지 세 각이 자동으로 정해집니다. 이웃한 각과의 합이 180°이기 때문이에요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
바늘(변)이 길수록 각도 크다.
각도는 벌어진 정도만 잽니다. 변의 길이와는 상관없어요. 손목시계의 3시와 벽시계의 3시는 똑같이 90°입니다.
3시 30분에 두 바늘 사이는 정확히 90°다.
분침이 6으로 가는 동안 시침도 반 칸 움직입니다. 그래서 3과 4의 중간까지 가 있어요. 실제 차이는 75°입니다. 시침도 계속 움직인다는 것이 시계 문제의 단골 함정이에요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
시계 읽기
시침은 1시간에 30°, 분침은 1분에 6°씩 돕니다. 시계 각도 문제의 모든 계산이 이 두 속도에서 나와요.
경사와 안전
휠체어 경사로는 약 5° 이하, 사다리는 75°가 표준입니다. 안전 규정이 각도의 언어로 적혀 있어요.
카메라 화각
광각 렌즈 84°, 표준 47°, 망원 12°. 사진에 담기는 세상의 폭이 각도로 표시됩니다.
내비게이션과 방위
북쪽이 0°, 동쪽이 90°입니다. 배와 비행기의 진행 방향은 한 바퀴 360° 눈금 그 자체예요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
팔을 길게 뻗으면 팔 사이의 각도 커지나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
방향을 그대로 유지했다면 각은 같습니다. 길이와 벌어짐을 별개로 보아야 합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 손목시계와 큰 벽시계가 둘 다 정각 3시입니다. 두 바늘 사이의 각도는 어느 쪽이 클까요?
2. 3시 30분, 두 바늘 사이의 각도는 얼마일까요?
3. 정확히 90°인 각은 무엇이라고 불러야 할까요?
4. 정각 7시, 두 바늘 사이의 각도(작은 쪽)는 몇 도일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1시계가 정각 4시일 때 두 바늘 사이의 각도(작은 쪽)는?답 보기 ▾
시침이 4에 있으니 4×30° = 120°입니다. 정각의 각도는 언제나 시각×30°예요. 6시를 넘으면 360°에서 빼서 작은 쪽을 봅니다.
Q2155°는 예각, 직각, 둔각 중 무엇일까요?답 보기 ▾
90°보다 크고 180°보다 작으니 둔각입니다. 기준점은 90°와 180° 딱 둘이에요.
Q3두 직선이 만나 한 각이 70°라면 나머지 세 각은?답 보기 ▾
이웃 각은 180°−70° = 110°입니다. 마주보는 각은 서로 같아요. 그래서 70°, 110°, 70°, 110°. 하나만 재면 넷이 전부 정해집니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
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