gcd · 약수와 배수
남김없이 나누는 수와 그 반대, 약수와 배수
사탕 12개를 남김없이 똑같이 나눌 수 있는 사람 수는, 아무 수나 될까?
환갑이 예순한 살인 까닭, 최소공배수
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
나누기가 항상 되는 게 아닙니다. 사탕 12개는 5명에게 똑같이 못 나눠요. 언제 나눠떨어지는지 미리 아는 규칙이 필요했습니다.
그 규칙이 약수입니다. 12의 약수 1, 2, 3, 4, 6, 12를 알면 나눌 수 있는 모든 경우가 한눈에 나와요. 두 수를 함께 나눠야 하면 공약수를 찾고, 그중 가장 큰 것이 최대공약수입니다.
거꾸로 '주기가 언제 다시 만나나'는 배수의 문제입니다. 4일 주기와 6일 주기는 공배수 12, 24에서 만나요. 처음 만나는 날이 최소공배수입니다. 달력, 기어, 버스 배차의 수학이에요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 사탕 12개를 남김없이 똑같이 나눌 수 있는 사람 수는 몇 가지일까요?
인원을 골라 나눠보세요
12개를 그 인원으로 나누면 남김없이 떨어질까요?
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
최대공약수와 최소공배수는 같은 소인수들을 서로 다른 목적에 맞게 고르는 방법입니다. 함께 나눌 수 있는 크기를 찾을지, 함께 맞아떨어지는 크기를 찾을지부터 정합니다.
12=2²×3, 18=2×3²입니다. 양쪽에 공통으로 들어 있는 만큼만 쓰면 최대공약수는 2×3=6입니다. 양쪽을 모두 담을 만큼 쓰면 최소공배수는 2²×3²=36입니다.
약수와 배수는 같은 사실의 두 방향이다.
'3은 12의 약수'와 '12는 3의 배수'는 같은 문장입니다. 12 = 3×4 하나에서 나왔거든요. 아래에서 올려다보면 약수, 위에서 내려다보면 배수입니다.
최대공약수는 나누기의 답, 최소공배수는 만남의 답이다.
묶음을 최대한 크게 공평하게 나누고 싶으면 최대공약수를 찾습니다. 서로 다른 주기가 처음 겹치는 순간이 궁금하면 최소공배수를 찾아요. 생활 속 두 가지 질문에 정확히 대응합니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
여기서는 양의 정수를 다룹니다. 0을 포함할 때는 별도의 약속과 예외를 확인합니다.
사탕 나누기에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 두 주기가 다시 만나는 날과 짝지어 보기
= ÷
약수와 배수
3은 12를 남김없이 나누는 약수이고, 12는 3의 배수입니다. 곱셈식 하나가 두 관계를 동시에 말해요.
최대공약수 (GCD)
두 수를 동시에 나누는 가장 큰 수입니다. 사탕 12개와 초콜릿 18개를 남김없이 나눌 수 있는 최대 인원이에요.
최소공배수 (LCM)
두 주기가 처음 다시 만나는 지점입니다. 곱을 최대공약수로 나눠요. 겹치는 부분을 한 번만 세는 것입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
수가 클수록 약수도 많다.
13은 12보다 크지만 약수가 1과 13뿐입니다. 12는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 여섯 개예요. 약수의 개수는 크기가 아니라 어떤 소수들의 곱으로 지어졌는지가 정합니다.
두 주기가 다시 만나는 때는 두 수를 곱하면 된다. (4일과 6일 → 24일)
24일에도 만나지만 '처음' 만나는 날은 12일입니다. 4와 6이 공약수 2를 공유하기 때문이에요. 그냥 곱하면 실제보다 크게 나올 수 있습니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
버스와 지하철 환승
15분 간격 버스와 9분 간격 버스가 동시에 출발했다면, 다음 동시 출발은 45분 뒤입니다. lcm(15, 9) = 45거든요.
기어와 자전거
톱니 12개와 18개 기어가 맞물리면 최대공약수와 최소공배수가 회전 주기를 정합니다. 같은 톱니끼리 다시 만나는 주기가 길수록 닳는 정도가 고르게 돼요.
달력의 주기
12간지와 10천간이 만나 60갑자를 만듭니다. lcm(12, 10) = 60이거든요. 환갑(61세 잔치)이 여기서 나온 수학입니다.
분수의 통분과 약분
통분의 공통분모가 분모들의 최소공배수입니다. 약분의 열쇠는 최대공약수예요. 분수 계산의 엔진이 약수와 배수입니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
최대공약수에서는 지수가 더 작은 쪽을 고르는 이유가 무엇인가요?
생각한 뒤 설명 확인하기
두 수를 모두 나누어야 하므로 어느 한쪽에 없는 소인수 개수까지 쓸 수 없기 때문입니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 사탕 12개를 남김없이 똑같이 나눌 수 없는 인원은?
2. 6일마다 수영, 8일마다 등산을 갑니다. 두 운동이 처음 같은 날 겹치는 것은?
3. 12와 13 중 약수가 더 많은 수는?
4. 연필 18자루와 지우개 30개를 남김없이 똑같이 나눌 수 있는 최대 인원은 몇 명일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q120의 약수를 모두 찾아보세요.답 보기 ▾
1, 2, 4, 5, 10, 20으로 여섯 개입니다. 요령은 짝 찾기예요. 1×20, 2×10, 4×5. 약수는 언제나 곱셈 짝으로 나옵니다.
Q2연필 24자루와 지우개 36개를 최대 몇 명에게 남김없이 똑같이 나눌 수 있을까요?답 보기 ▾
gcd(24, 36) = 12명입니다. 한 명당 연필 2자루, 지우개 3개씩이에요. 최대공약수가 공평하게 나눌 수 있는 최대 인원을 알려줍니다.
Q33일마다 수영, 5일마다 등산을 간다면 두 운동이 같은 날 겹치는 건 며칠마다일까요?답 보기 ▾
lcm(3, 5) = 15일마다입니다. 3과 5는 공약수가 1뿐이라(서로소) 최소공배수가 그냥 곱인 15가 돼요. 서로소일 때만 '곱하면 된다'가 맞습니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
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