지도 위 1cm가 실제 500m가 되는 약속
1분에 2L 나오는 수도를 3배 오래 틀면, 물은 몇 배가 될까?
배수가 그대로면 정비례, 곱이 일정하면 반비례
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 1분에 2L 나오는 수도를 3배 오래 틀면 물은?
시간을 바꿔보세요
1분에 2L씩. 시간이 2배, 3배가 될 때 물의 양을 지켜보세요.
2L
받은 물
| 튼 시간 | 1 |
| 받은 물 | 2 |
| 물 ÷ 시간 | 2 |
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
'2배 사면 2배 낸다', '2배 빠르면 절반 걸린다'. 생활의 계산 대부분이 이 두 문장 위에 서 있습니다. 그런데 어떤 관계가 이 규칙을 따르고 어떤 관계가 아닌지 가릴 눈이 필요했어요.
기준은 명확합니다. 배수가 그대로 전달되면 정비례(y=kx), 곱이 일정하게 유지되면 반비례(y=k/x)예요. 이 둘만 확실히 알아도 어림 계산과 단위 바꾸기가 즉시 됩니다.
그래프로 그리면 정체가 드러납니다. 정비례는 원점을 지나는 직선이고, 반비례는 축에 다가가는 곡선이에요. 관계의 모양을 보는 훈련이 함수로 가는 마지막 계단입니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“정비례의 심장은 '원점을 지난다'는 것이다.”
0분이면 0L입니다. 아무것도 안 하면 아무것도 없어요. 기본요금이 있는 택시비는 함께 늘지만 정비례가 아닙니다. 0km에도 4,800원이 나오니까요. 원점 통과 여부가 정비례의 신분증입니다.
“반비례는 '나눠 갖기'의 수학이다.”
일정한 전체(60L, 케이크 하나, 일 전체)를 나누는 상황마다 반비례가 나타납니다. 나누는 사람이 2배면 몫은 절반이에요. 곱, 즉 전체가 일정하기 때문입니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
한쪽이 늘 때 다른 쪽도 늘면 전부 정비례다.
나이가 늘면 키도 늘지만, 2배 나이가 2배 키는 아닙니다. 정비례의 기준은 '함께 는다'가 아니라 '배수가 그대로 전달된다'예요. 2배면 정확히 2배. 훨씬 엄격한 조건입니다.
반비례는 '한쪽이 늘면 다른 쪽이 준다'는 뜻이다.
줄기만 해서는 부족합니다. 반비례의 기준은 곱이 일정하다는 것이에요(xy=k). 2배가 되면 정확히 절반이 되어야 합니다. 60L 욕조에서 (분당 수량)×(걸린 시간)은 언제나 60이에요.
Formula
수식으로 정리하기
욕조 실험에서 확인한 두 관계를 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 욕조 수돗물 실험과 짝지어 보기
= ×
정비례
x가 2배, 3배가 되면 y도 정확히 2배, 3배가 됩니다. k는 '1당 얼마'(분당 2L)라는 비례상수예요. 그래프는 원점을 지나는 직선입니다.
반비례
x가 2배면 y는 절반이 됩니다. 곱이 항상 k로 일정해요. 60L 욕조에서 수량×시간 = 60입니다. 그래프는 축에 다가가는 곡선이에요.
정비례 판별법
y÷x가 늘 같은 값이면 정비례, x×y가 늘 같은 값이면 반비례입니다. 표에서 바로 검사할 수 있어요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
장보기와 단위가격
3개에 3,600원이면 5개는? 가격은 개수에 정비례합니다. 개당 1,200원이거든요. 단위가격 실험실의 계산이 전부 정비례입니다.
속도와 시간
같은 거리를 2배 빠르게 가면 시간은 절반입니다. 거리가 일정할 때 속도와 시간은 반비례예요. 속도×시간 = 거리이기 때문입니다.
요리 레시피
2인분 레시피를 5인분으로 만들려면 모든 재료를 2.5배 합니다. 재료의 양은 인분 수에 정비례하기에 배율 하나로 끝나요.
톱니바퀴와 기어비
맞물린 두 기어의 회전수는 톱니 수에 반비례합니다. 톱니가 절반이면 2배 돌아요. 자전거 기어비의 수학입니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
나이가 들수록 키도 자랍니다. 나이와 키는 정비례일까요?
택시비는 y = 800x + 4,800(x는 거리)으로 거리가 늘면 요금도 늡니다. 정비례일까요?
60L 욕조를 채울 때 분당 수량을 2배로 하면 걸리는 시간은?
귤 6개에 3,000원입니다. 같은 귤 8개는 얼마일까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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Connection
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