PROOF 116
증명하라.
반비례 그래프는 축에 닿지 않는다
좌표평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
k ≠ 0 일 때, 반비례 그래프 G 는 xy = k 를 만족하는 점 (x, y) 전체의 집합이다.
증명.
그래프는 그림이 아니라 점의 집합이다. 어떤 점이 G 에 속하는지는 xy = k 하나가 정한다.약속
∎
정의 D2
x 축은 y = 0 인 점 전체의 집합이고, y 축은 x = 0 인 점 전체의 집합이다.
증명.
축도 점의 집합이다. 「닿는다」는 것은 두 집합이 공통의 점을 갖는다는 뜻이다.약속
∎
정리 T1
G 는 x 축 위의 점도 y 축 위의 점도 갖지 않는다.
증명.
(1)(0, y) ∈ G 인 y 가 있다고 하자.가정
(2)0 × y = k(1), D1
(3)0 × y = y × 0 = 0A4, P
(4)k = 0(2), (3)
(5)이는 k ≠ 0 에 어긋난다. 그러므로 x = 0 인 점은 G 에 없다.(4), D1
(6)(x, 0) ∈ G 이면 x × 0 = k 이고, 같은 방식으로 k = 0 이 되어 어긋난다.D1, P
(7)그러므로 G 는 두 축 어느 쪽과도 공통의 점을 갖지 않는다.(5), (6), D2
∎
정리 T2
임의의 M > 0 에 대하여, 자연수 n 이 있어 점 (n⁻¹, kn) 이 G 에 속하고 |kn| > M 이다.
증명.
(1)M > 0 이라 하자.가정
(2)k ≠ 0 이므로 0 < |k| 이고, |k|⁻¹ 이 있으며 0 < |k|⁻¹ 이다.D1, A9, A11
(3)M|k|⁻¹ < n 인 자연수 n 이 있다.(1), (2), A1
(4)0 < n 이므로 n⁻¹ 이 있다. x = n⁻¹ 이라 하자.(3), A2, A11
(5)y = kn 이라 하면 xy = n⁻¹(kn) = k(n⁻¹n) = k × 1 = kA3, A4, A6, A5
(6)그러므로 (x, y) ∈ G 이다.(4), (5), D1
(7)|y| = |kn| = |k||n| = |k|nA8, A2, A10
(8)0 < |k| 이고 M|k|⁻¹ < n 이므로 |k|(M|k|⁻¹) < |k|n(2), (3), A7
(9)|k|(M|k|⁻¹) = M(|k||k|⁻¹) = M × 1 = MA3, A4, A6, A5
(10)M < |k|n = |y|(7), (8), (9)
∎
따름정리 C
T2 가 준 점은 |x| < |k|M⁻¹ 을 만족한다. M 은 임의였으므로 x = n⁻¹ 꼴의 점 가운데 |x| 가 얼마든지 작은 것이 있고, 그러면서 |x| = 0 인 점은 없다.
증명.
(1)T2 가 준 점 (x, y) = (n⁻¹, kn) 을 잡자. |y| > M 이다.T2
(2)x ≠ 0 이므로 0 < |x| 이다.T1, A9
(3)|x|M < |x||y|(1), (2), A7
(4)|x||y| = |xy| = |k|A8, D1
(5)|x|M < |k|(3), (4)
(6)0 < M 이므로 M⁻¹ 이 있고 0 < M⁻¹ 이다.(1), A11
(7)M⁻¹(|x|M) = |x|(MM⁻¹) = |x| × 1 = |x|A3, A4, A6, A5
(8)|x| < M⁻¹|k| = |k|M⁻¹(5), (6), (7), A7, A4
(9)M 은 임의였으므로 x = n⁻¹ 꼴의 점 가운데 |x| 가 얼마든지 작은 것이 있고, T1 에 의하여 |x| = 0 인 점은 없다.T2, (8), T1
∎
비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
T1 은 축 위에 점이 없다는 것만 말한다. 「한없이 가까워진다」를 말하는 줄이 무엇에 기대는지 확인하라.