PROOF 115
증명하라.
비례식에서 외항의 곱과 내항의 곱은 같다
유리수 ℚ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
b ≠ 0 이고 d ≠ 0 일 때, a : b = c : d 는 a/b = c/d 를 뜻한다.
증명.
비례식은 두 몫이 같다는 문장이다. 콜론은 표기일 뿐 새로운 연산이 아니다.약속
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정의 D2
a/b 는 b × x = a 를 만족하는 x 를 뜻한다.
증명.
그러한 x 가 존재하고 하나뿐일 때에만 a/b 는 값을 갖는다.약속
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보조정리 L1
b ≠ 0 이고 bx = by 이면 x = y 이다.
증명.
(1)b ≠ 0 이므로 b⁻¹ 이 있다.A4
(2)b⁻¹(bx) = b⁻¹(by)가정, (1), E
(3)(b⁻¹b)x = (b⁻¹b)y(2), A1
(4)b⁻¹b = bb⁻¹ = 1A2, A4
(5)1×x = x × 1 = x, 1×y = yA2, A3
(6)x = y(3), (4), (5)
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보조정리 L2
b ≠ 0 이면 a/b 는 값을 갖는다.
증명.
(1)b ≠ 0 이므로 b⁻¹ 이 있다. x = a·b⁻¹ 이라 하자.A4
(2)bx = b(a·b⁻¹) = (ba)b⁻¹ = (ab)b⁻¹ = a(bb⁻¹)(1), A1, A2
(3)a(bb⁻¹) = a × 1 = aA4, A3
(4)그러므로 bx = a 인 x 가 존재한다.(2), (3)
(5)그러한 x 는 하나뿐이다.L1
(6)즉 a/b 는 값을 갖는다.(4), (5), D2
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정리 T1
b ≠ 0 이고 d ≠ 0 일 때, a : b = c : d 이면 ad = bc 이다.
증명.
(1)a : b = c : d 라 하자.가정
(2)a/b = c/d 이므로 이 값을 t 라 하자.(1), D1
(3)bt = a(2), D2
(4)dt = c(2), D2
(5)ad = (bt)d(3), E
(6)(bt)d = b(td) = b(dt)A1, A2
(7)b(dt) = bc(4), E
(8)ad = bc(5), (6), (7)
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정리 T2
b ≠ 0 이고 d ≠ 0 일 때, ad = bc 이면 a : b = c : d 이다.
증명.
(1)ad = bc 라 하자.가정
(2)a/b 와 c/d 는 값을 가지므로 x = a/b, y = c/d 라 하자.L2
(3)bx = a 이고 dy = c 이다.(2), D2
(4)(bx)d = ad = bc = b(dy)(1), (3), E
(5)(bx)d = b(xd)A1
(6)b(xd) = b(dy) 이고 b ≠ 0 이므로 xd = dy(4), (5), L1
(7)xd = dx 이므로 dx = dy(6), A2
(8)d ≠ 0 이므로 x = y(7), L1
(9)즉 a/b = c/d 이고, a : b = c : d 이다.(2), (8), D1
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따름정리 C
b ≠ 0 이고 d ≠ 0 일 때, a : b = c : d 인 것과 ad = bc 인 것은 같다. 앞의 문장은 나눗셈을 쓰고, 뒤의 문장은 곱셈만 쓴다.
증명.
(1)a : b = c : d 이면 ad = bc 이다.T1
(2)ad = bc 이면 a : b = c : d 이다.T2
(3)그러므로 두 문장은 동치이다.(1), (2)
(4)a : b = c : d 를 펼치면 a/b = c/d 이므로 나눗셈이 들어 있고, ad = bc 에는 곱셈만 있다.D1, D2
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 방향의 증명이 쓰는 것이 다르다. 어느 줄이 b⁻¹ 을 적는지 확인하라.