크기가 전혀 다른 둘을 공평하게 견주는 눈
원액 1컵 + 물 2컵 주스가 맛있었다. 두 배로 만들면 맛이 변할까?
크기가 아니라 관계, 비
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 원액 1컵 + 물 2컵 주스가 맛있었습니다. 원액 2컵 + 물 4컵으로 만들면 맛은?
주스를 몇 배로든 만들어보세요
원액 1 : 물 2 레시피를 배로 늘립니다. '진하기' 숫자를 지켜보세요.
1/3 = 33.3%
진하기 (원액 ÷ 전체)
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
3컵과 6컵 중 무엇이 큰지는 셀 줄 알면 압니다. 그런데 '어느 주스가 더 진한가', '어느 가게가 더 싼가'는 크기 비교로 답할 수 없어요. 기준이 다르기 때문입니다.
해법은 관계를 보는 것입니다. 원액과 물의 '몇 대 몇'(비)을 적고, 기준량으로 나눠 하나의 수(비율)로 만들어요. 그러면 크기가 달라도 공정하게 비교할 수 있습니다.
이 눈이 생기면 퍼센트, 환율, 단위가격, 축척, 삼각비가 전부 같은 도구의 변형임이 보입니다. 비율은 수학에서 가장 많이 재사용되는 부품이에요.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“비율은 크기를 지우고 관계만 남긴 수다.”
1:2와 100:200은 크기가 100배 다르지만 같은 비입니다. 크기를 지웠기에 레시피, 지도, 모형처럼 확대하고 축소해도 변하지 않는 것을 다룰 수 있어요.
“비교하고 싶으면 먼저 나눠라.”
가격은 양으로, 원액은 전체로, 높이는 빗변으로 나눕니다. 기준량으로 나누는 순간 서로 다른 크기의 것들이 같은 저울에 올라가요. 이 나눗셈 한 번이 비율의 전부입니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
원액이 더 많이 들어간 주스가 더 진하다.
원액 3컵+물 5컵(37.5%)은 원액 2컵+물 3컵(40%)보다 연합니다. 진하기는 원액의 양이 아니라 전체에서 차지하는 비율이 정해요. 비교는 언제나 나눗셈입니다.
비의 양쪽에 같은 수를 더해도 비는 유지된다.
1:2에 1씩 더하면 2:3이 됩니다. 진하기가 33%에서 40%로 변해요. 비를 지키는 것은 덧셈이 아니라 곱셈입니다. 1:2 = 2:4 = 3:6처럼 같은 수를 곱해야 같은 관계예요.
Formula
수식으로 정리하기
주스 실험에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 주스 진하기 실험과 짝지어 보기
= ÷
비 (ratio)
'몇 대 몇'의 관계입니다. 양쪽에 같은 수를 곱하거나 나눠도 같은 비예요. 주스를 몇 배로 만들어도 맛이 같은 이유입니다.
비율 (비의 값)
비를 나눗셈 한 번으로 수 하나로 만든 것입니다. 수 하나가 되는 순간 어떤 것끼리도 비교할 수 있어요.
같은 관계의 네 가지 옷
비, 분수, 소수, 백분율은 같은 관계를 적는 네 가지 표기일 뿐입니다. 퍼센트는 기준량을 100으로 맞춘 비율이에요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
퍼센트
기준량을 100으로 맞춘 비율이 퍼센트입니다. 할인율, 지지율, 수익률처럼 세상 대부분의 숫자가 비율의 이 옷을 입고 있어요.
단위가격
가격을 양으로 나눈 비율(원/g)로 바꿔야 큰 포장과 작은 포장을 공정하게 비교할 수 있습니다. 마트 선반의 작은 글씨가 바로 이 값이에요.
환율
환율은 두 화폐 사이의 교환 비율입니다. '1달러 = 1,400원'은 1:1400이라는 비예요. 방향을 잡는 감각이 곧 비율 감각입니다.
지도의 축척과 삼각비
축척 1:1000 지도는 실제를 1000분의 1 비율로 줄인 것입니다. 각도가 같으면 변의 비율이 같다는 사실(삼각비)로는 강폭과 산 높이까지 재요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
원액 3컵+물 5컵 주스와 원액 2컵+물 3컵 주스. 어느 쪽이 더 진할까요?
원액 1컵+물 2컵 주스에 원액과 물을 1컵씩 더 넣으면(2컵+3컵) 맛은?
과자 A는 5,000원에 200g, 과자 B는 8,000원에 400g. 어느 쪽이 이득일까요?
축척 1:25,000 지도에서 8cm 떨어진 두 지점의 실제 거리는 몇 km일까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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Connection
개념은 이어진다
다음 개념으로 연결
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