정의 D1
b ≠ 0 일 때 a/b 는 a · b⁻¹ 을 뜻한다.
증명.
나눗셈은 역원을 곱하는 것이다. b⁻¹ 이 없으면 이 표기는 값을 갖지 못한다.약속, A4
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정의 D2
p% 는 p/100 을 뜻한다.
증명.
백분율은 새로운 연산이 아니라 100 으로 나눈 수를 부르는 이름이다.약속, D1
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정의 D3
b − a 는 b + (−a) 를 뜻한다.
증명.
뺄셈은 새로운 연산이 아니라 역원을 더하는 것이다.약속
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정의 D4
전체 A 의 비율 r 만큼은 A × r 을 뜻한다. 비율 r 만큼 증가한 값은 A + A×r 이고, 감소한 값은 A − A×r 이다.
증명.
비율은 전체를 1 로 볼 때의 몫이다. 「~의」는 곱셈으로 옮긴다.약속
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정의 D5
A ≠ 0 일 때 A 에서 B 로 변할 때의 증가율은 변화량 B − A 의 A 에 대한 비율, 즉 (B − A)/A 이다.
증명.
기준은 언제나 처음 값 A 이다. 어느 값을 분모에 두는지가 증가율을 정한다.약속, D1, D3
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보조정리 L1
A + A×r = A(1 + r) 이고 A − A×r = A(1 − r) 이다.
증명.
(1)A(1 + r) = A × 1 + A × rA5
(2)A × 1 = A 이므로 A(1 + r) = A + A×r(1), A3
(3)A(1 − r) = A(1 + (−r)) = A × 1 + A(−r)D3, A5
(4)A(−r) = −(A×r) 이므로 A(1 − r) = A + (−(A×r)) = A − A×r(3), A3, A10, D3
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보조정리 L2
(1 + r)(1 − r) = 1 − r²
증명.
(1)(1 + r)(1 − r) = (1 − r)(1 + r)A2
(2)(1 − r)(1 + r) = (1 − r) × 1 + (1 − r)rA5
(3)(1 − r) × 1 = 1 − rA3
(4)(1 − r)r = r(1 − r) = r(1 + (−r)) = r × 1 + r(−r)A2, D3, A5
(5)r × 1 = r 이고 r(−r) = −(r·r) = −r²A3, A10
(6)(1 − r)r = r + (−r²) = r − r²(4), (5), D3
(7)(1 + r)(1 − r) = (1 − r) + (r − r²)(1), (2), (3), (6)
(8)(1 − r) + (r − r²) = 1 + ((−r) + r) + (−r²) = 1 + (−r²) = 1 − r²D3, A6, A7, A9, A8
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정리 T1
A 의 p% 는 A × (p/100) 이며, 이는 (A × p)/100 과 같다.
증명.
(1)100 ≠ 0 이므로 100⁻¹ 이 있다.A4
(2)p% = p/100 = p · 100⁻¹(1), D2, D1
(3)A 의 p% = A × (p · 100⁻¹)(2), D4
(4)A(p · 100⁻¹) = (Ap)100⁻¹A1
(5)(Ap)100⁻¹ = (A × p)/100D1
(6)A 의 p% = A × (p/100) = (A × p)/100(3), (4), (5)
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정리 T2
A ≠ 0 일 때, A 에서 B 로의 증가율을 백분율로 쓰면 p = (B − A)/A × 100 이다.
증명.
(1)증가율을 r 이라 하면 r = (B − A)/A 이다.D5
(2)r 을 p% 로 쓴다는 것은 p/100 = r 이라는 뜻이다.D2
(3)양변에 100 을 곱하면 (p · 100⁻¹)100 = r × 100(2), D1, E
(4)(p · 100⁻¹)100 = p(100⁻¹ · 100) = p × 1 = pA1, A2, A4, A3
(5)p = r × 100 = (B − A)/A × 100(1), (3), (4)
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정리 T3
비율 r 만큼 증가시킨 뒤 같은 비율 r 만큼 감소시키면 A(1 − r²) 이 된다. r ≠ 0 이고 0 < A 이면 그 값은 A 보다 작다.
증명.
(1)증가시킨 값은 A + A×r = A(1 + r) 이다.D4, L1
(2)그 값을 B 라 하면 감소시킨 값은 B − B×r = B(1 − r) 이다.D4, L1
(3)B(1 − r) = (A(1+r))(1 − r) = A((1+r)(1−r)) = A(1 − r²)(1), (2), A1, L2
(4)r ≠ 0 이므로 0 < r²A11
(5)0 + (1 − r²) < r² + (1 − r²)(4), A12
(6)0 + (1 − r²) = 1 − r² 이고 r² + (1 − r²) = 1D3, A6, A7, A8, A9
(7)1 − r² < 1(5), (6)
(8)0 < A 이면 A(1 − r²) < A × 1 = A(7), A13, A3
(9)그러므로 같은 비율로 올렸다가 내린 값은 처음 값보다 작다.(3), (8)
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따름정리 C
A 를 20% 올린 뒤 20% 내리면 0.96 × A 가 된다.
증명.
(1)20% = 20/100 = 1/5D2, A14
(2)1 + 1/5 = 6/5 = 1.2A15
(3)1 − 1/5 = 4/5 = 0.8A16
(4)20% 올린 값은 A × 1.2 이고, 거기서 20% 내린 값은 (A × 1.2) × 0.8 이다.(1), (2), (3), L1, T3
(5)(A × 1.2) × 0.8 = A(1.2 × 0.8)A1
(6)1.2 × 0.8 = (6/5)(4/5) = 24/25 = 0.96(2), (3), A17
(7)결과는 0.96 × A 이고, 0 < A 이면 T3 에 의하여 A 보다 작다.(4), (5), (6), T3
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