사진을 가로세로 2배로 확대하면 — 사진 속 잉크는 몇 배 필요할까?
닮음은 모양을 지키는 확대·축소다 — 길이는 닮음비만큼, 넓이는 그 제곱만큼 변한다.
Experiment
직접 만져보기
🔮 예측 먼저 — 사진을 가로세로 2배로 확대하면 잉크는 몇 배 들까요?
🖼 배율을 바꿔보세요
칸을 직접 세어보세요 — 가로 길이와 칸의 개수(넓이)가 각각 몇 배가 되나요?
가로 1배
칸 수 1배
2×2 = 4
📖 더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
지도를 그리고 모형을 만들고 사진을 인화하는 순간, 인류는 늘 같은 질문에 부딪혔다 — 크기를 바꿀 때 무엇이 지켜지고 무엇이 변하는가?
답은 둘로 갈린다. 각도와 비율은 지켜지고(그래서 모양이 유지된다), 길이·넓이·부피는 각각 k, k², k³배로 변한다 — 닮음비 하나가 전부를 통제한다.
이 규칙은 곧 측량 도구가 됐다. 막대기 그림자와 나무 그림자는 닮은 삼각형 — 탈레스는 이 원리로 피라미드 높이를 쟀고, 같은 원리가 삼각비로 자라난다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“닮음은 '크기를 무시하는 눈'이다.”
지도, 설계도, 미니어처, 화면 축소 — 전부 '크기는 달라도 정보는 같다'에 기대 있다. 비율 실험실에서 만난 '크기를 지운 관계'가 도형의 세계로 온 것이다.
“코끼리가 개미처럼 뛸 수 없는 이유도 닮음이다.”
몸길이 k배면 근육 힘은 단면적 따라 k²배, 몸무게는 부피 따라 k³배 — 클수록 힘 대비 무게가 무거워진다. 제곱-세제곱 법칙이 생물의 형태를 결정한다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
2배로 확대하면 모든 것이 2배가 된다.
길이만 2배다. 넓이는 4배(2²), 부피는 8배(2³) — 차원마다 배율이 다르다. 사진 인화 가격이 크기 배수보다 가파르게 오르는 이유다.
크기가 다르면 다른 도형이다.
닮음의 눈으로는 같은 도형이다 — 각도와 변의 비율이 전부 같으니까. 지도와 실제 땅, 모형과 실물이 '같은 정보'를 담는 근거가 닮음이다.
Formula
수식으로 정리하기
사진 확대에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
닮음의 정의
대응하는 각이 같고, 대응하는 변의 비(닮음비)가 일정 — 모양이 같고 크기만 다르다.
차원별 배율
닮음비 k 하나가 모든 차원을 통제한다. 2배 확대 사진의 잉크(넓이)는 4배 든다.
그림자 측량
같은 시각의 태양 각도가 같으므로 두 삼각형은 닮음 — 대응변의 비가 같다는 성질로 잴 수 없는 높이를 잰다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
지도와 축척
1:25,000 지도는 실제 땅과 닮음이다. 지도 위 4cm = 실제 1km — 닮음비 하나로 모든 거리가 번역된다.
모형과 설계
1/100 건축 모형, 1/24 자동차 프라모델 — 모형이 실물의 정보를 담을 수 있는 근거가 닮음이다. 단, 무게는 (1/100)³이라는 점이 함정.
화면 해상도와 인쇄
사진을 확대 인화하면 잉크와 가격이 넓이(k²) 따라 뛴다. 4×6 사진과 8×12 사진은 닮음비 2, 가격 근거는 4배다.
생물의 크기 법칙
제곱-세제곱 법칙: 몸이 커질수록 부피(무게)가 단면적(힘)보다 빨리 는다 — 개미가 자기 몸의 50배를 들고, 코끼리가 점프하지 못하는 이유다.
Try Yourself
직접 풀어보기
Q11m 막대의 그림자가 1.5m일 때, 그림자가 12m인 나무의 높이는?답 보기 ▾
높이/그림자 비가 같으므로 높이 = 12 × (1/1.5) = 8m. 탈레스가 피라미드를 잰 바로 그 방법입니다.
Q2닮음비가 3인 두 삼각형의 넓이의 비는?답 보기 ▾
3² = 9배입니다. 길이는 닮음비, 넓이는 그 제곱 — 한 변이 3배면 가로세로가 각각 3배라 9배가 됩니다.
Q31/24 스케일 자동차 모형의 실제 대비 부피는?답 보기 ▾
(1/24)³ = 1/13,824 — 약 1만 4천분의 1입니다. 길이는 24분의 1인데 부피(재료)는 만 배 넘게 줄어드는 것 — 세제곱의 위력입니다.
💡 답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
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