PROOF 49
증명하라.
삼각형 내각의 합은 180°
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
삼각형 ABC 는 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C 와 세 선분 AB, BC, CA 로 이루어진다. 내각은 ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA 이다.
증명.
(1)세 점은 한 직선 위에 있지 않다.약속
(2)직선 t 가 두 직선 ℓ, m 을 각각 P, Q 에서 자를 때, t 의 서로 반대쪽 반평면에 있는 두 각을 엇각이라 한다.약속
∎
보조정리 L1
직선 t 가 평행한 두 직선 ℓ, m 을 자르면 엇각은 같다.
증명.
(1)t 가 ℓ 을 P 에서, m 을 Q 에서 자른다 하자.가정
(2)ℓ ∥ m 이고 ℓ ≠ m 이므로 Q 는 ℓ 위에 없다.가정
(3)P 에서의 엇각을 α, Q 에서의 엇각을 β 라 한다.D1
(4)Q 를 지나고 t 와 이루는 엇각이 α 인 직선 m′ 이 유일하게 존재한다.(1), (3), A4
(5)엇각이 같으므로 m′ ∥ ℓ(4), A3
(6)Q 를 지나 ℓ 에 평행한 직선은 하나뿐이므로 m′ = m(2), (5), 가정, A2
(7)m 에서의 엇각은 m′ 에서의 엇각이므로 β = α(4), (6), A4
∎
정리 T
삼각형 ABC 에서 ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°
증명.
(1)A 는 직선 BC 위에 없으므로, A 를 지나 직선 BC 에 평행한 직선 ℓ 이 유일하게 존재한다.D1, A2
(2)ℓ 위에 A 를 사이에 둔 두 점을 잡는다.(1), A10
(3)선분 BC 는 ℓ 과 만나지 않으므로 B 와 C 는 ℓ 의 같은 쪽에 있다. 특히 B 와 C 는 ℓ 위에 없다.(1), A6
(4)직선 AB 는 B 를 지나므로 ℓ 과 다르고, 두 직선은 A 에서만 만난다.(1), (3)
(5)(2) 의 두 점을 잇는 선분은 직선 AB 와 A 에서 만나므로 두 점은 직선 AB 의 반대쪽에 있다.(2), (4), A6
(6)C 는 직선 AB 위에 없으므로 두 점 중 정확히 하나가 C 와 같은 쪽이다. 그것을 E, 다른 쪽을 D 라 한다.D1, (5), A6
(7)B 는 ℓ 위에 없으므로 반직선 AB 는 평각 ∠DAE 의 내부에 있다.(3), (6), A8
(8)∠DAB + ∠BAE = ∠DAE = 180°(7), A5, A1
(9)C 는 직선 AB 에 대해 E 쪽이고 직선 AE = ℓ 에 대해 B 쪽이므로, 반직선 AC 는 ∠BAE 의 내부에 있다.(3), (6), A7
(10)∠BAC + ∠CAE = ∠BAE(9), A5
(11)∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = 180°(8), (10), E
(12)직선 AB 가 ℓ 과 직선 BC 를 자르고 D 는 C 의 반대쪽이므로, ∠DAB 와 ∠ABC 는 엇각이다.(1), (6), D1
(13)∠DAB = ∠ABC(12), L1
(14)(9) 에서 B 와 E 는 직선 AC 의 반대쪽이므로, ∠CAE 와 ∠BCA 는 직선 AC 가 만드는 엇각이다.(1), (9), A9, D1
(15)∠CAE = ∠BCA(14), L1
(16)∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°(11), (13), (15), E
∎
비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
엇각이 같으면 평행하다(A3)와 평행하면 엇각이 같다(L1)를 나누어 보라. 평행선 공준은 어느 쪽에 쓰이는가.