PROOF 146
증명하라.
n각형 내각의 합은 180(n−2)
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
n ≥ 3 일 때, n각형 A₁A₂…A_n 은 n 개의 점과 n 개의 선분 A₁A₂, A₂A₃, …, A_nA₁ 로 이루어진다. 이웃하지 않는 두 변은 만나지 않고, 이웃한 두 변은 한 직선 위에 있지 않다.
증명.
(1)이 조건을 만족하는 다각형을 단순다각형이라 한다.약속
(2)단순다각형은 평면을 안쪽과 바깥쪽으로 나눈다. 꼭짓점 A_i 의 내각은 두 변 A_{i−1}A_i 와 A_iA_{i+1} 이 이루는 각 중 안쪽에 놓인 것이다.(1), 약속
(3)n = 3 인 단순다각형은 삼각형이다.(1), 약속
∎
정의 D2
이웃하지 않는 두 꼭짓점을 잇는 선분을 대각선이라 한다. 어느 변을 품는 직선에 대해서도 다각형 전체가 한쪽에 놓이면 그 다각형을 볼록다각형이라 한다.
증명.
(1)n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 (n−3) 개다. 자기 자신과 이웃 두 꼭짓점을 뺀 수다.약속, A11
(2)볼록다각형에서는 모든 대각선이 다각형의 안쪽에 놓인다.약속
∎
보조정리 L1
k + m = n + 2 이면 180(k−2) + 180(m−2) = 180(n−2)
증명.
(1)180(k−2) + 180(m−2) = 180((k−2) + (m−2))A8
(2)(k−2) + (m−2) = (k + m) + ((−2) + (−2)) = (k + m) − 4A9, A10, A11
(3)k + m = n + 2 이므로 (k + m) − 4 = (n + 2) − 4 = n − 2(2), 가정, A9, A11, E
(4)180(k−2) + 180(m−2) = 180(n−2)(1), (2), (3), E
∎
정리 T1
볼록 n각형의 내각의 합은 180(n−2) 이다.
증명.
(1)볼록 n각형 A₁A₂…A_n 에서 A₁ 과 A₃, A₁ 과 A₄, …, A₁ 과 A_{n−1} 을 잇는 (n−3) 개의 대각선을 긋는다.D2
(2)이 대각선들은 모두 안쪽에 놓이고 서로 만나지 않으므로 다각형을 (n−2) 개의 삼각형 A₁A₂A₃, A₁A₃A₄, …, A₁A_{n−1}A_n 으로 나눈다.(1), D2, A2
(3)각 삼각형의 세 내각의 합은 180° 이다.(2), D1, A1
(4)(n−2) 개의 삼각형의 내각을 모두 더하면 180(n−2)(2), (3), A7
(5)이 각들은 다각형의 내각을 남김없이 나눈 조각이다. A₁ 의 내각은 (n−2) 조각으로, A₂ 와 A_n 의 내각은 나뉘지 않고, 나머지 꼭짓점의 내각은 두 조각으로 갈린다.(2), D1, D2
(6)각 꼭짓점에서 조각들의 합은 그 꼭짓점의 내각이다.(5), A3
(7)그러므로 내각의 합은 180(n−2)(4), (6), E
∎
정리 T2
볼록하지 않아도 된다. 모든 단순 n각형의 내각의 합은 180(n−2) 이다.
증명.
(1)볼록하지 않은 다각형에서는 한 꼭짓점에서 그은 대각선이 바깥으로 나갈 수 있으므로 T1 의 분할을 그대로 쓸 수 없다.D2, T1
(2)n = 3 인 경우, 삼각형이므로 내각의 합은 180 = 180(3−2)D1, A1, A11
(3)n ≥ 4 라 하고, 변의 수가 n 보다 작은 모든 단순다각형에서 명제가 성립한다고 하자.가정
(4)이 n각형에는 안쪽에 놓인 대각선이 하나 있다.(3), D1, D2, A4
(5)그 대각선은 다각형을 단순 k각형과 단순 m각형으로 나누고 k + m = n + 2, 3 ≤ k < n, 3 ≤ m < n(4), A5
(6)귀납 가정에 의해 두 조각의 내각의 합은 각각 180(k−2) 와 180(m−2) 이다.(3), (5)
(7)두 조각의 내각은 원래 다각형의 내각을 남김없이 나눈 조각이다. 대각선의 두 끝점에서만 내각이 두 조각으로 갈린다.(5), D1
(8)각 꼭짓점에서 조각들의 합은 그 꼭짓점의 내각이므로, 두 조각의 내각의 합을 더하면 n각형의 내각의 합이다.(7), A3
(9)180(k−2) + 180(m−2) = 180(n−2)(5), L1
(10)그러므로 n각형의 내각의 합은 180(n−2)(6), (8), (9), E
(11)기저와 귀납 단계가 모두 확인되었으므로 모든 n ≥ 3 에서 성립한다.(2), (10), A6
∎
비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
쪼개는 일과 값을 매기는 일을 나누어 보라. 둘은 같은 근거를 쓰지 않는다.