PROOF 195
증명하라.
정다면체는 다섯뿐이다
볼록 다면체 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
정다면체는 모든 면이 합동인 정p각형이고 모든 꼭짓점에 면이 q 개씩 모이는 볼록 다면체다. 꼭짓점의 수를 V, 변의 수를 E, 면의 수를 F 라 한다.
증명.
(1)다각형은 변을 3 개 이상 가지므로 p ≥ 3약속
(2)한 꼭짓점에 면이 2 개뿐이면 입체각이 만들어지지 않는다. 그러므로 q ≥ 3약속
(3)꼭짓점 둘레에서 면과 변은 번갈아 나타난다. 면이 q 개 모이는 꼭짓점에는 변도 q 개 모인다.약속
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보조정리 L1
pF = 2E
증명.
(1)면과 그 면의 변으로 이루어진 쌍 (f, e) 를 모두 센다. 면이 F 개이고 면마다 변이 p 개이므로 쌍은 pF 개다.D1
(2)같은 쌍을 변 쪽에서 센다. 변이 E 개이고 변마다 접하는 면이 꼭 2 개이므로 쌍은 2E 개다.A2
(3)같은 집합을 두 방법으로 세었다. pF = 2E(1), (2), E
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보조정리 L2
qV = 2E
증명.
(1)꼭짓점과 그 꼭짓점에 모이는 변의 쌍 (v, e) 를 모두 센다. 꼭짓점이 V 개이고 꼭짓점마다 변이 q 개 모이므로 쌍은 qV 개다.D1
(2)같은 쌍을 변 쪽에서 센다. 변이 E 개이고 변마다 끝 꼭짓점이 꼭 2 개이므로 쌍은 2E 개다.A3
(3)qV = 2E(1), (2), E
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정리 T1
1/p + 1/q = 1/2 + 1/E 이고, 그러므로 1/p + 1/q > 1/2
증명.
(1)p ≥ 3 > 0, q ≥ 3 > 0 이므로 V = 2E/q 이고 F = 2E/pL1, L2, D1, E, N
(2)오일러 공식에 대입한다. 2E/q − E + 2E/p = 2A1, (1), E
(3)E > 0 이므로 양변을 2E 로 나눈다. 1/q − 1/2 + 1/p = 1/E(2), A4, E, N
(4)1/p + 1/q = 1/2 + 1/E(3), E, N
(5)E > 0 이므로 1/E > 0 이고, 그러므로 1/p + 1/q > 1/2(4), A4, A7, N
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정리 T2
p ≥ 3, q ≥ 3, 1/p + 1/q > 1/2 를 만족하는 정수해는 (3,3), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3) 다섯뿐이다.
증명.
(1)p ≥ 6 이라 하자. q ≥ 3 이므로 1/p ≤ 1/6, 1/q ≤ 1/3 이고 1/p + 1/q ≤ 1/6 + 1/3 = 1/2D1, A5, A6, N
(2)이는 T1 에 모순이다. 그러므로 p ≤ 5(1), T1
(3)같은 논증을 q 에 적용하면 q ≤ 5D1, A5, A6, T1, N
(4)그러므로 p 와 q 는 각각 3, 4, 5 중 하나이고, 후보는 아홉 쌍이다.D1, (2), (3)
(5)(4,4) 는 1/4 + 1/4 = 1/2 이므로 1/2 보다 크지 않다. 배제된다.(4), T1, N
(6)(4,5) 와 (5,4) 는 1/4 + 1/5 = 9/20 < 1/2. 배제된다.(4), T1, N
(7)(5,5) 는 1/5 + 1/5 = 2/5 < 1/2. 배제된다.(4), T1, N
(8)남은 다섯 쌍을 검산한다. (3,3): 2/3, (3,4) 와 (4,3): 7/12, (3,5) 와 (5,3): 8/15 — 모두 1/2 보다 크다.(4), (5), (6), (7), N
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따름정리 C
다섯 쌍 각각에서 E, V, F 는 하나로 정해진다.
증명.
(1)T1 의 등식에서 1/E = 1/p + 1/q − 1/2 이고, 우변이 양수이므로 E 는 그 역수로 하나로 정해진다.T1, E, N
(2)E 가 정해지면 V = 2E/q 와 F = 2E/p 도 함께 정해진다.(1), L1, L2, N
(3)(3,3): 1/E = 2/3 − 1/2 = 1/6. E = 6, V = 12/3 = 4, F = 12/3 = 4(1), (2), N
(4)(3,4): 1/E = 7/12 − 6/12 = 1/12. E = 12, V = 24/4 = 6, F = 24/3 = 8(1), (2), N
(5)(4,3): 1/E = 1/12. E = 12, V = 24/3 = 8, F = 24/4 = 6(1), (2), N
(6)(3,5): 1/E = 16/30 − 15/30 = 1/30. E = 30, V = 60/5 = 12, F = 60/3 = 20(1), (2), N
(7)(5,3): 1/E = 1/30. E = 30, V = 60/3 = 20, F = 60/5 = 12(1), (2), N
(8)이 다섯을 차례로 정사면체, 정팔면체, 정육면체, 정이십면체, 정십이면체라 부른다.(3), (4), (5), (6), (7), 약속
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
이 편은 오일러 공식을 증명하지 않고 공리로 받았다. 그 한 줄이 결론의 어디를 떠받치는지 확인하라.