PROOF 59
증명하라.
평행선 공리를 제거하면
유클리드 공리계 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
유클리드는 다섯 개의 공준에서 평면기하를 세운다.
증명.
(1)제1공준. 두 점을 잇는 선분을 그릴 수 있다.약속
(2)제2공준. 선분은 얼마든지 곧게 이어 늘일 수 있다.약속
(3)제3공준. 중심과 반지름이 주어지면 원을 그릴 수 있다.약속
(4)제4공준. 모든 직각은 서로 같다.약속
(5)제5공준(원문). 두 직선이 한 직선과 만나 생기는 같은 쪽 두 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선은 그쪽으로 늘였을 때 만난다.약속
(6)제5공준은 다음과 동치다. 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 만나지 않는 직선은 오직 하나다. 이 편은 이 형태를 A1 로 쓴다.(5), A2
(7)앞의 네 공준은 길이가 한 줄이고 제5공준만 길다. 이 차이가 이 편의 물음이다.(1), (2), (3), (4), (5)
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정의 D2
공리계의 무정의 용어에 구체적인 뜻을 주어 그 공리계의 모든 공리가 참이 되게 한 것을 그 공리계의 모형이라 한다.
증명.
(1)평면기하의 무정의 용어는 점과 직선이다. 무엇을 점이라 부르고 무엇을 직선이라 부를지는 정해져 있지 않다.약속, D1
(2)두 평행선이란 만나지 않는 두 직선을 뜻한다.약속
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보조정리 L1
평행한 두 직선이 한 직선과 만날 때, 엇각은 같다.
증명.
(1)평행한 두 직선 ℓ 과 m 이 직선 t 와 각각 점 Q, P 에서 만난다고 하자.가정
(2)ℓ 과 m 은 만나지 않으므로 P 는 ℓ 위에 있지 않다.(1), D2
(3)P 에서 t 와 이루는 엇각이 ∠(t, ℓ) 과 같은 직선 m′ 을 그릴 수 있다.(1), (2), A4
(4)m′ 과 ℓ 은 엇각이 같으므로 서로 평행하다.(3), A3
(5)P 를 지나 ℓ 에 평행한 직선은 오직 하나이므로 m′ = m(1), (2), (4), A1
(6)그러므로 m 이 t 와 이루는 엇각은 ∠(t, ℓ) 과 같다.(3), (5)
(7)A3 은 역방향이며 A1 을 쓰지 않는다. A1 이 쓰인 곳은 (5) 한 줄뿐이다.(4), (5), A3, A1
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정리 T1
삼각형의 세 내각의 합은 180° 이다.
증명.
(1)삼각형 ABC 에서 A 를 지나 직선 BC 에 평행한 직선 ℓ 을 잡는다. 그러한 직선은 오직 하나다.A1
(2)ℓ 위에 두 점 D, E 를 잡되 A 가 D 와 E 사이에 오고, B 와 D 가 직선 AC 를 기준으로 같은 쪽, C 와 E 가 직선 AB 를 기준으로 같은 쪽이 되게 한다.(1), 약속
(3)직선 AB 는 평행한 두 직선 ℓ 과 BC 를 자르므로 ∠DAB = ∠ABC(1), (2), L1
(4)직선 AC 는 평행한 두 직선 ℓ 과 BC 를 자르므로 ∠EAC = ∠ACB(1), (2), L1
(5)D, A, E 는 한 직선 위에 있으므로 ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = 180°(2), A5
(6)∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°(3), (4), (5), E
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정리 T2
제5공준과 「모든 삼각형의 내각합은 180° 이다」는 서로 동치다.
증명.
(1)제5공준을 쓰면 모든 삼각형의 내각합은 180° 이다.T1, D1
(2)거꾸로 모든 삼각형의 내각합이 180° 이면 제5공준이 성립한다. 이 방향은 A6 으로 주어진다.A6
(3)두 명제는 서로에게서 따라 나오므로 동치다.(1), (2), 약속
(4)그러므로 제5공준은 각의 성질로 바꿔 말할 수 있다. 어느 쪽을 공리로 삼든 같은 평면이 나온다.(3)
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정리 T3
제5공준은 제1공준부터 제4공준까지에서 증명될 수 없다.
증명.
(1)한 원의 내부를 평면으로, 그 원과 수직으로 만나는 원호와 그 원의 지름을 직선으로 읽는다. 이것을 쌍곡 모형이라 하자.D2
(2)이 해석에서 제1공준부터 제4공준까지는 모두 참이다.(1), D1, D2
(3)이 해석에서 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 만나지 않는 직선은 무수히 많다. 그러므로 제5공준은 거짓이다.(1), D1, D2
(4)제1~제4공준에 제5공준의 부정을 더한 공리계에 모형이 있으므로, 그 공리계에는 모순이 없다.(2), (3), A7
(5)제5공준이 제1~제4공준에서 증명된다면 (4) 의 공리계는 제5공준과 그 부정을 모두 증명하게 되어 모순이 생긴다.(4), 약속
(6)그러므로 제5공준은 제1~제4공준에서 증명될 수 없다.(4), (5)
(7)제5공준이 거짓이므로, A6 의 대우에 의해 이 모형에서 모든 삼각형의 내각합이 180° 인 것은 아니다.(3), A6, A8
(8)구면 모형은 또 하나의 부정을 보인다. 구면 위의 마주보는 두 점을 한 점으로 읽고 대원을 직선으로 읽으면, 두 직선은 언제나 만나므로 평행선이 하나도 없다.D2
(9)다만 이 모형에서는 제2공준을 「직선은 끝이 없다」로 읽어야 한다. 「직선의 길이는 무한하다」로 읽으면 제2공준이 거짓이 된다.(8), D1
(10)독립성을 보이는 것은 (1) 의 모형이고, (8) 의 모형은 부정이 한 가지가 아님을 보인다.(6), (8), (9)
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따름정리 C
맞꼭지각은 같다. 그리고 이 증명은 제5공준을 쓰지 않는다.
증명.
(1)두 직선이 한 점에서 만나 네 각을 이룬다. 이웃한 두 각을 ∠a, ∠b 라 하고, ∠b 와 이웃하며 ∠a 와 마주보는 각을 ∠c 라 하자.가정
(2)∠a 와 ∠b 는 한 직선 위의 두 각이므로 ∠a + ∠b = 180°(1), A5
(3)∠b 와 ∠c 는 한 직선 위의 두 각이므로 ∠b + ∠c = 180°(1), A5
(4)∠a + ∠b = ∠b + ∠c(2), (3), E
(5)∠a + ∠b = ∠c + ∠b(4), A10
(6)∠a = ∠c(5), A9
(7)(2) 부터 (6) 까지 A1 을 한 번도 인용하지 않았다. 그러므로 증명 48 은 제5공준을 제거해도 그대로 남는다.(2), (3), (4), (5), (6)
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비고
A1 은 이 공리계에서 제거할 수 있는가.
이 편은 A1 을 쓰는 정리와 쓰지 않는 정리를 나란히 세워 두었다. 제거하면 어느 쪽이 남는지 확인하라.