PROOF 147
증명하라.
외각의 합은 언제나 360°
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
볼록 n각형 A₁A₂…A_n 은 n 개의 점과 n 개의 변으로 이루어진 단순다각형이며, 어느 변을 품는 직선에 대해서도 다각형 전체가 한쪽에 놓인다. 첨자는 A_{n+1} = A₁, A₀ = A_n 으로 읽는다.
증명.
(1)이웃한 두 변은 한 직선 위에 있지 않다. 한 직선 위에 있으면 그 점은 꼭짓점이 아니다.약속
(2)그러므로 A_{i+1} 은 직선 A_{i−1}A_i 위에 없다.(1)
(3)볼록하므로 A_i 의 내각은 두 변 A_{i−1}A_i 와 A_iA_{i+1} 이 이루는 각 ∠A_{i−1}A_iA_{i+1} 그 자체이고 180° 보다 작다.약속, A5
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정의 D2
변 A_{i−1}A_i 를 A_i 너머로 늘인 반직선 위의 점을 E_i 라 할 때, ∠A_{i+1}A_iE_i 를 꼭짓점 A_i 에서의 외각이라 한다.
증명.
(1)그러한 점 E_i 가 존재한다.A4
(2)다른 변 A_iA_{i+1} 을 늘여 얻는 각은 이 각과 맞꼭지각이므로 크기가 같다. 어느 변을 늘여도 외각의 크기는 하나로 정해진다.(1), A7
(3)꼭짓점마다 외각을 하나씩 잡아 n 개를 얻는다.(2), D1
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보조정리 L1
각 꼭짓점에서 내각과 외각의 합은 180° 이다.
증명.
(1)A_{i−1}, A_i, E_i 는 한 직선 위에 있고 A_i 가 사이에 있으므로 ∠A_{i−1}A_iE_i = 180°D2, A1
(2)A_{i+1} 은 직선 A_{i−1}A_i 위에 없으므로 반직선 A_iA_{i+1} 은 그 평각의 내부에 있다.D1, A3
(3)∠A_{i−1}A_iA_{i+1} + ∠A_{i+1}A_iE_i = ∠A_{i−1}A_iE_i = 180°(1), (2), A2
(4)앞의 각은 내각이고 뒤의 각은 외각이므로 내각 + 외각 = 180°(3), D1, D2
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정리 T
볼록 n각형의 외각의 합은 360° 이다.
증명.
(1)꼭짓점 A₁ 부터 A_n 까지 각각 내각 + 외각 = 180°L1, D1
(2)n 개의 등식을 모두 더하면 (내각의 합) + (외각의 합) = 180n(1), A8, A10
(3)내각의 합 = 180(n−2)D1, A6
(4)180(n−2) + (외각의 합) = 180n(2), (3), E
(5)180(n−2) = 180n + 180(−2) = 180n − 360A9, A12, A14
(6)180(n−2) + 360 = (180n − 360) + 360 = 180n(5), A10, A12, A13, E
(7)180(n−2) + (외각의 합) = 180(n−2) + 360(4), (6), E
(8)외각의 합 = 360°(7), A10, A11
(9)180n 은 꼭짓점의 개수에서 왔고 180(n−2) 는 내각의 합에서 왔다. 두 식을 견줄 때 n 이 든 항이 서로 지워지고 상수 360 만 남는다. 외각의 합이 변의 수와 무관한 까닭은 그 상쇄다.(2), (3), (8)
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비고
A6 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 개의 합 중 어느 쪽이 평면의 성질에 기대는지 가려 보라. 상쇄가 일어나려면 두 식이 모두 있어야 한다.