≤ · 부등식
범위를 다루는 언어, 부등식
엘리베이터에 '최대 900kg'이라 적혀 있다. 정확히 900kg이면 타도 될까?
음수를 곱하면 부등호가 뒤집히는, 단 하나의 예외
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
세상 규칙의 절반은 등호가 아닙니다. '최대 900kg', '19세 이상', '30분 이내'처럼요. 딱 떨어지는 값이 아니라 허용 범위를 다루는 언어가 필요했습니다.
그래서 부등호 네 가지(<, >, ≤, ≥)와 네 단어(미만, 초과, 이하, 이상)가 생겼어요. 경계를 포함하느냐(≤) 마느냐(<)의 구분이 실무에서는 합격과 불합격을 가릅니다.
부등식의 해는 수직선 위의 구간입니다. '어디까지 허용되는가'를 계산으로 구하는 것이에요. 예산 짜기, 요금제 비교, 안전 기준이 전부 부등식 풀기입니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 엘리베이터에 ‘최대 900kg’. 정확히 900kg이면 타도 될까요?
무게를 바꿔 경계를 찾아보세요
짐을 싣고 내리며 탑승 가능(⭕)과 불가(❌)의 경계를 확인하세요.
700kg
탑승 가능 (900kg 이하)
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
부등식은 어느 값이 더 큰지를 나타냅니다. 등식처럼 양쪽에 연산을 할 수 있지만, 크기 순서를 뒤집는 연산인지도 확인해야 합니다.
2<3의 양쪽에 −1을 곱하면 −2>−3입니다. 수직선에서 방향을 뒤집으면 왼쪽과 오른쪽의 순서도 바뀝니다. 부등호를 바꾸는 규칙은 이 순서 변화의 표현입니다.
부등식의 답은 점이 아니라 영역이다.
방정식은 저울의 균형점 하나를 찾지만, 부등식은 허용되는 쪽 전체를 찾습니다. 답을 수직선에 색칠하는 순간, 하나의 수에서 범위로 사고가 넓어져요.
음수 곱하기는 거울이다.
×(−1)은 수직선을 0 기준으로 뒤집는 것입니다. 컸던 쪽이 작아져요. 3 > 2가 −3 < −2로 뒤집히는 이유를 그림으로 이해하면, 부등호 뒤집기는 암기가 아니라 당연함이 됩니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
양수와 음수로 나누는 경우를 구분합니다. 문자의 부호를 모르면 경우를 나누어야 할 수 있습니다.
엘리베이터 실험에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 엘리베이터 실험과 짝지어 보기
네 가지 부등호
≤는 경계를 포함하고, <는 경계를 뺍니다. '900kg 이하'면 900kg도 탈 수 있고, '미만'이면 못 타요.
부등식의 성질
양변에 같은 수를 더하거나 빼도, 양수를 곱하거나 나눠도 방향은 그대로입니다. 방정식과 같아요.
단 하나의 예외
음수를 곱하거나 나누면 부등호가 뒤집힙니다. 3 > 2이지만 −3 < −2예요. 수직선 뒤집기의 논리입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
x < 3의 답은 2다.
2뿐 아니라 1, 0, 2.9, −100까지, 3보다 작은 모든 수가 답입니다. 부등식의 해는 수 하나가 아니라 범위예요. '답이 무수히 많음'에 익숙해지는 것이 부등식의 첫걸음입니다.
부등식도 방정식처럼 양변에 아무 수나 곱해도 된다.
음수를 곱하면 부등호가 뒤집힙니다. 3 > 2이지만 −3 < −2예요. 수직선을 0 기준으로 뒤집으면 좌우가 바뀌기 때문입니다. 이 한 가지 예외가 부등식 계산의 전부예요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
안전 기준
엘리베이터 정원, 놀이기구 키 제한('120cm 이상'), 다리의 하중 제한처럼 안전의 언어는 전부 부등식입니다. 경계 포함 여부가 법규의 핵심이 돼요.
요금제 비교
'월 x분 이상 통화하면 무제한 요금제가 이득'. 두 요금식을 부등식으로 놓고 풀면 갈아탈 기준선이 나옵니다.
예산과 장보기
1,200원짜리 x개를 사되 10,000원 이하로 맞추려면 1200x ≤ 10000, 즉 x ≤ 8.3이라 최대 8개입니다. 어림 실험실의 버림이 부등식과 만나요.
게임의 조건 판정
'HP가 30% 미만이면 경고 표시'. 코드의 if (hp < 0.3)이 바로 부등식입니다. 프로그램의 갈림길 전체가 부등식 판정 위에서 돌아요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
x로 양쪽을 나누면서 부등호를 그대로 두어도 될까요?
생각한 뒤 설명 확인하기
x가 양수라는 조건이 있어야 합니다. 음수면 방향을 바꾸고, 0이면 나눌 수 없습니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 엘리베이터에 '900kg 이하'라고 적혀 있습니다. 정확히 900kg이면?
2. 부등식 −2x < 6을 풀면?
3. 부등식 x < 5의 해는 몇 개일까요?
4. 1,500원짜리 아이스크림을 12,000원 이하로 사려고 합니다. 최대 몇 개 살 수 있을까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1'19세 이상 관람가'에 19세는 포함될까요? '19세 미만 관람불가'와 같은 말일까요?답 보기 ▾
이상(≥)이므로 19세는 포함됩니다. 그리고 '19세 미만 불가'와 '19세 이상 가능'은 같은 규칙의 두 표현이에요. 미만의 반대가 이상입니다.
Q2부등식 2x + 3 < 11을 풀어보세요.답 보기 ▾
양변에서 3을 빼면 2x < 8입니다. 양변을 양수 2로 나누면 x < 4예요. 답은 4보다 작은 모든 수입니다. 수직선에서 4 왼쪽 전체이고, 4는 빈 동그라미예요.
Q3−3x ≤ 9를 풀 때 주의할 점은?답 보기 ▾
양변을 −3으로 나누면서 부등호를 뒤집어야 합니다. x ≥ −3이에요. 검산으로 x=0을 넣으면 −3×0=0 ≤ 9가 맞습니다. 0은 −3보다 크니 방향이 맞아요.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
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