PROOF 192
증명하라.
산술평균은 기하평균 이상이다
0 이상의 실수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정리 T1
0 이상의 두 실수 a, b 에 대하여 (a + b)/2 ≥ √(ab)
증명.
(1)a ≥ 0, b ≥ 0 이므로 √a, √b 가 존재하고 (√a)² = a, (√b)² = b가정, A2
(2)(√a − √b)² ≥ 0A1
(3)(√a − √b)² = (√a)² − 2·√a·√b + (√b)²A3
(4) = a − 2√(ab) + b(1), (3), A6, E
(5)a − 2√(ab) + b ≥ 0(2), (4)
(6)양변에 2√(ab) 를 더하면 a + b ≥ 2√(ab)(5), A4
(7)양변을 2 로 나누면 (a + b)/2 ≥ √(ab)(6), A5
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정리 T2
(a + b)/2 = √(ab) 는 a = b 일 때, 그리고 그때에만 성립한다.
증명.
(1)등호가 성립한다고 하자. 양변에 2 를 곱하면 a + b = 2√(ab)가정, E
(2)양변에서 2√(ab) 를 빼면 a − 2√(ab) + b = 0(1), E
(3)(√a − √b)² = a − 2√(ab) + bA2, A3, A6
(4)(√a − √b)² = 0(2), (3)
(5)√a − √b = 0, 즉 √a = √b(4), A7, E
(6)a = (√a)² = (√b)² = b(5), A2, E
(7)역으로 a = b 라 하자. 그러면 √a = √b가정, E
(8)(√a − √b)² = 0² = 0 이므로 a − 2√(ab) + b = 0(7), (3), N, E
(9)2√(ab) 를 더하고 2 로 나누면 (a + b)/2 = √(ab)(8), E
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따름정리 C
0 이상의 네 실수 a, b, c, d 에 대하여 (a + b + c + d)/4 ≥ ⁴√(abcd)
증명.
(1)⁴√x 는 √√x 를 뜻한다.약속
(2)(a + b)/2 ≥ √(ab), (c + d)/2 ≥ √(cd)T1
(3)변끼리 더하고 2 로 나누면 (a+b+c+d)/4 ≥ (√(ab) + √(cd))/2(2), A4, A5, N
(4)0 이상의 두 수 √(ab), √(cd) 에 정리를 다시 적용하면 (√(ab) + √(cd))/2 ≥ √(√(ab)·√(cd))A2, T1
(5)√(√(ab)·√(cd)) = √√(abcd) = ⁴√(abcd)A6, (1), E
(6)(a + b + c + d)/4 ≥ ⁴√(abcd)(3), (4), (5), A8
(7)같은 걸음을 되풀이하면 n = 2ᵏ 개로 늘어난다. 일반의 n 에 대한 부등식은 여기서 증명하지 않고 진술로 둔다.(6)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
부등식 전체가 단 하나의 사실 위에 서 있다. 실수의 제곱은 0 이상이라는 것이다.