PROOF 104
증명하라.
부등식은 조건 없이 제곱할 수 없다
순서를 가진 체 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
b − a 는 b + (−a) 를 뜻한다.
증명.
뺄셈은 새로운 연산이 아니라 역원을 더하는 것이다.약속
∎
정의 D2
|a| 는 0 ≤ a 일 때 a, a < 0 일 때 −a 를 뜻한다.
증명.
삼분법이 두 경우 가운데 하나만 일어남을 보장한다.A1
∎
보조정리 L1
a < b 인 것과 0 < b − a 인 것은 같다.
증명.
(1)a < b 라 하자.가정
(2)a + (−a) < b + (−a)(1), A3
(3)0 < b − a(2), A6, D1
(4)거꾸로 0 < b − a 라 하자.가정
(5)0 + a < (b + (−a)) + a(4), A3, D1
(6)(b + (−a)) + a = b + ((−a) + a) = bA7, A8, A6, A5
(7)0 + a = aA8, A5
(8)a < b(5), (6), (7)
∎
보조정리 L2
(b − a)(b + a) = b² − a²
증명.
(1)(b + (−a))(b + a) = b(b + a) + (−a)(b + a)A9, A10, D1
(2)b(b + a) = b² + baA9
(3)(−a)(b + a) = (−(ab)) + (−(a²))A9, A11
(4)좌변 = b² + (ba + (−(ab))) + (−(a²))(1), (2), (3), A7
(5)ba = ab 이므로 ba + (−(ab)) = 0A10, A6
(6)(b − a)(b + a) = b² + 0 + (−(a²)) = b² − a²(4), (5), A5, D1
∎
보조정리 L3
|a|² = a²
증명.
(1)0 ≤ a 이면 |a| = a 이므로 |a|² = a² 이다.D2
(2)a < 0 이면 |a| = −a 이므로 |a|² = (−a)(−a) = a² 이다.D2, A12
(3)두 경우뿐이므로 언제나 |a|² = a² 이다.(1), (2), A1
∎
보조정리 L4
0 ≤ |a|
증명.
(1)0 ≤ a 이면 |a| = a 이므로 0 ≤ |a| 이다.D2
(2)a < 0 이라 하자.가정
(3)a + (−a) < 0 + (−a)(2), A3
(4)좌변은 0, 우변은 −a 이므로 0 < −a = |a| 이다.(3), A6, A8, A5, D2
(5)두 경우뿐이므로 언제나 0 ≤ |a| 이다.(1), (4), A1
∎
정리 T1
a < b 에서 a² < b² 는 따라 나오지 않는다.
증명.
(1)a = −3, b = 2 로 둔다. −3 < 2 이다.N1
(2)a² = (−3)² = 9 이고 b² = 2² = 4 이다.N2
(3)4 < 9 이므로 b² < a² 이다.(2), N1
(4)삼분법에 의해 a² < b² 는 성립하지 않는다.(3), A1
(5)그러므로 a < b 만으로는 a² < b² 를 얻을 수 없다.(1), (4)
∎
정리 T2
0 ≤ a 이고 a < b 이면 a² < b²
증명.
(1)0 ≤ a 이고 a < b 라 하자.가정
(2)0 < b − a(1), L1
(3)0 = a 이면 a + b = 0 + b = b 이고 0 < b 이므로 0 < a + b(1), A8, A5
(4)0 < a 이면 0 < b 이고 0 + a < b + a 이므로 0 < a < a + b(1), A2, A3, A8, A5
(5)어느 경우든 0 < a + b(3), (4), A1
(6)0 < (b − a)(b + a)(2), (5), A8, A4
(7)(b − a)(b + a) = b² − a²L2
(8)0 < b² − a²(6), (7), E
(9)a² < b²(8), L1
∎
따름정리 C
|a| < |b| 인 것과 a² < b² 인 것은 같다.
증명.
(1)|a| < |b| 라 하자.가정
(2)0 ≤ |a| 이므로 |a|² < |b|²(1), L4, T2
(3)|a|² = a², |b|² = b² 이므로 a² < b²(2), L3, E
(4)거꾸로 a² < b² 라 하자.가정
(5)|b| < |a| 이면 같은 논법으로 b² < a²L4, T2, L3
(6)그러면 a² < b² 와 b² < a² 가 함께 성립하여 삼분법에 어긋난다.(4), (5), A1
(7)|a| = |b| 이면 a² = b² 이고, 이는 (4) 와 삼분법에 어긋난다.(4), L3, E, A1
(8)삼분법에 의해 |a| < |b| 이다.(6), (7), A1
∎
비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
T2 의 증명에서 두 인수의 부호를 각각 확인하라. 하나는 가정에서 곧바로 나오고 하나는 그렇지 않다.