PROOF 20
증명하라.
a < b, c < 0 이면 ac > bc
순서를 가진 체 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
b − a 는 b + (−a) 를 뜻한다.
증명.
뺄셈은 새로운 연산이 아니라 역원을 더하는 것이다.약속
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보조정리 L1
a < b 인 것과 0 < b − a 인 것은 같다.
증명.
(1)a < b 라 하자.가정
(2)a + (−a) < b + (−a)(1), A3
(3)0 < b − a(2), A6, D1
(4)거꾸로 0 < b − a 라 하자.가정
(5)0 + a < (b + (−a)) + a(4), A3, D1
(6)(b + (−a)) + a = b + ((−a) + a) = bA7, A8, A6, A5
(7)0 + a = aA8, A5
(8)a < b(5), (6), (7)
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보조정리 L2
모든 a 에 대하여 a × 0 = 0
증명.
(1)0 + 0 = 0A5
(2)a(0 + 0) = a × 0(1), E
(3)a×0 + a×0 = a×0(2), A9
(4)(a×0 + a×0) + (−(a×0)) = a×0 + (−(a×0))(3), E
(5)좌변 = a×0 + (a×0 + (−(a×0))) = a×0 + 0 = a×0A7, A6, A5
(6)우변 = 0A6
(7)a × 0 = 0(4), (5), (6)
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보조정리 L3
x + y = 0 이고 x + z = 0 이면 y = z
증명.
(1)y = y + 0A5
(2) = y + (x + z)가정
(3) = (y + x) + zA7
(4) = (x + y) + zA8
(5) = 0 + z가정
(6) = z + 0 = zA8, A5
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보조정리 L4
(b − a)(−c) = ac − bc
증명.
(1)P 를 b − a 로 둔다.D1
(2)P(−c) + Pc = P((−c) + c)A9
(3)(−c) + c = 0A8, A6
(4)P((−c) + c) = P × 0 = 0(3), E, L2
(5)P(−c) + Pc = 0(2), (4)
(6)Pc = c(b + (−a)) = cb + c(−a)(1), A10, A9
(7)c(−a) + ca = c((−a) + a) = c × 0 = 0A9, A8, A6, L2, E
(8)ca + (−(ca)) = 0A6
(9)c(−a) = −(ca)(7), (8), A8, L3
(10)Pc = bc + (−(ac))(6), (9), A10
(11)(bc + (−(ac))) + (ac + (−(bc))) = 0A7, A8, A6, A5
(12)Pc + P(−c) = 0 이고 Pc + (ac − bc) = 0(5), (10), (11), A8, D1
(13)P(−c) = ac − bc, 즉 (b − a)(−c) = ac − bc(1), (12), L3
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정리 T
a < b 이고 c < 0 이면 bc < ac, 즉 ac > bc
증명.
(1)a < b 이고 c < 0 이라 하자.가정
(2)c + (−c) < 0 + (−c)(1), A3
(3)0 < −c(2), A6, A8, A5
(4)0 < b − a(1), L1
(5)0 < (b − a)(−c)(3), (4), A4
(6)(b − a)(−c) = ac − bcL4
(7)0 < ac − bc(5), (6), E
(8)bc < ac(7), L1
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따름정리 C
c < 0 일 때 a < b 인 것과 bc < ac 인 것은 같다.
증명.
(1)a < b 이면 bc < ac 이다.T
(2)거꾸로 bc < ac 라 하자.가정
(3)a = b 이면 ac = bc 이고, 이는 (2) 와 삼분법에 어긋난다.E, A1, (2)
(4)b < a 이면 T 에 의해 ac < bc 이다.T
(5)그러면 bc < ac 와 ac < bc 에서 bc < bc 이다.(2), (4), A2
(6)삼분법은 bc < bc 를 허용하지 않는다.A1
(7)a < b, a = b, b < a 중 하나는 성립한다.A1
(8)그러므로 a < b 이다.(3), (6), (7)
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
부호 규칙이 곱셈의 성질인지, 곱셈과 순서를 잇는 공리에서 오는지 확인하라.