1500년 전 중국 수학책에 실린 닭과 토끼 문제
닭과 토끼가 합쳐 8마리, 다리는 모두 22개. 토끼는 몇 마리일까?
두 조건이 겹치는 단 한 점, 연립방정식
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 닭과 토끼가 합쳐 8마리, 다리는 모두 22개. 토끼는 몇 마리일까요?
🐔🐰 토끼 수를 바꿔 다리를 세어보세요
머리는 항상 8마리(닭+토끼). 다리가 22개가 되는 조합을 찾으세요. (다리 수: 닭 2개, 토끼 4개)
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다리 합계 · 0×4 + 8×2
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
모르는 것이 두 개인 문제가 세상엔 흔합니다. 닭과 토끼, 어른표와 아이표, 두 상품의 단가처럼요. 문자식 하나(x+y=8)로는 후보만 좁혀질 뿐 답이 정해지지 않아요.
돌파구는 조건을 하나 더 찾는 것입니다. 다리 조건(2x+4y=22)이 더해지는 순간 아홉 후보 중 단 하나만 살아남아요. 조건 두 개가 함께 가리키는 곳이 답입니다.
그리고 이를 기계적으로 푸는 소거법이 나왔습니다. 두 식을 더하고 빼서 미지수 하나를 지우면 아는 문제(일차방정식)로 떨어져요. 모르는 것을 줄여가는 이 전략이 훗날 수백 개 미지수의 연립(행렬)까지 이어집니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“식 하나는 선이고, 연립은 교점이다.”
x+y=8을 좌표평면에 그리면 직선이 됩니다. 그 위의 모든 점이 답 후보예요. 두 번째 식도 직선이고, 두 직선이 만나는 교점 하나가 연립의 해입니다. 대수의 소거와 기하의 교점은 같은 사건이에요.
“소거는 '모르는 것 줄이기' 전략이다.”
미지수 2개는 어렵지만 1개는 쉽습니다. 식끼리 빼서 하나를 지우면 어려운 문제가 아는 문제로 떨어져요. 복잡한 문제를 아는 문제로 바꾸는 수학의 대표 전략입니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
미지수가 2개면 식 하나로도 풀 수 있다.
x+y=8만으로는 (0,8), (1,7), … (8,0) 아홉 가지 모두 답입니다. 미지수의 개수만큼 서로 다른 조건(식)이 있어야 답이 하나로 정해져요. 연립의 존재 이유입니다.
연립방정식은 시행착오(대입해보기)로 푸는 것이다.
8마리면 아홉 번 안에 끝나지만 800마리면 어떡할까요? 소거법은 식끼리 더하고 빼서 미지수를 하나 지우는 체계적 방법입니다. 크기와 무관하게 몇 줄로 끝나요. 시행착오는 발견의 도구, 소거는 해결의 도구입니다.
Formula
수식으로 정리하기
닭과 토끼에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 닭과 토끼 소거 실험과 짝지어 보기
− ⇒
연립방정식 세우기
닭 x, 토끼 y입니다. 머리 조건과 다리 조건이에요. 미지수 2개엔 서로 다른 식 2개가 필요합니다.
소거법
첫 식을 2배 해서 빼면 x가 사라집니다. y=3(토끼), x=5(닭)이에요. 미지수 하나를 지워 아는 문제로 만듭니다.
기하적 의미
각 식은 좌표평면의 직선이고, 연립의 해는 두 직선이 만나는 단 한 점입니다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
입장권 계산
어른표와 아이표 합쳐 5장에 47,000원, 어른 12,000원에 아이 8,000원. 각각 몇 장인지가 전형적인 연립입니다. 영수증 한 장이 식 두 개를 줘요.
두 요금제의 교차점
기본제와 무제한제의 비용식 두 개가 만나는 지점(교점)이 갈아탈 기준 사용량입니다. 부등식 실험실의 기준선이 사실 연립의 해였어요.
혼합 문제
6% 소금물과 10% 소금물을 섞어 8% 400g을 만들려면? 양 조건과 소금 조건, 식 두 개로 배합량이 정해집니다. 요리, 화학, 제약의 배합 계산이 전부 연립이에요.
내비게이션과 GPS
위성 여러 개에서 온 거리 조건들을 연립해 현재 위치를 한 점으로 조입니다. 조건이 겹칠수록 위치가 정확해지는 원리예요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
닭 x마리, 토끼 y마리에 대해 x + y = 8이라는 식 하나만 있습니다. 답은?
두 수의 합이 30, 차가 6입니다. 큰 수는 얼마일까요?
x + y = 3과 2x + 2y = 6을 연립하면 해는 몇 개일까요?
닭과 토끼가 합쳐 10마리, 다리는 28개입니다. 토끼는 몇 마리일까요?
증명 실험실
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믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
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Connection
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