닭과 토끼가 합쳐 8마리, 다리는 모두 22개 — 토끼는 몇 마리일까?
조건 하나로는 답이 무수히 많다 — 조건 두 개가 겹치는 순간, 답은 단 한 점으로 조여진다.
Experiment
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🔮 예측 먼저 — 닭과 토끼가 합쳐 8마리, 다리는 모두 22개. 토끼는 몇 마리일까요?
🐔🐰 토끼 수를 바꿔 다리를 세어보세요
머리는 항상 8마리(닭+토끼). 다리가 22개가 되는 조합을 찾으세요. (다리 수: 닭 2개, 토끼 4개)
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다리 합계 · 0×4 + 8×2
📖 더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
모르는 것이 두 개인 문제가 세상엔 흔하다 — 닭과 토끼, 어른표와 아이표, 두 상품의 단가. 문자식 하나(x+y=8)로는 후보만 좁혀질 뿐 답이 정해지지 않는다.
돌파구는 조건을 하나 더 찾는 것. 다리 조건(2x+4y=22)이 더해지는 순간 아홉 후보 중 단 하나만 살아남는다 — 조건 두 개의 교집합이 답이다.
그리고 이를 기계적으로 푸는 소거법이 나왔다. 두 식을 더하고 빼서 미지수 하나를 지우면 아는 문제(일차방정식)로 떨어진다 — '모르는 것을 줄여가는' 이 전략이 훗날 수백 개 미지수의 연립(행렬)까지 이어진다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“식 하나는 선이고, 연립은 교점이다.”
x+y=8을 좌표평면에 그리면 직선 — 그 위의 모든 점이 답 후보다. 두 번째 식도 직선이고, 두 직선이 만나는 교점 하나가 연립의 해다. 대수의 소거와 기하의 교점은 같은 사건이다.
“소거는 '모르는 것 줄이기' 전략이다.”
미지수 2개는 어렵지만 1개는 쉽다. 식끼리 빼서 하나를 지우면 어려운 문제가 아는 문제로 떨어진다 — 복잡한 문제를 아는 문제로 바꾸는 수학의 대표 전략이다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
미지수가 2개면 식 하나로도 풀 수 있다.
x+y=8만으로는 (0,8), (1,7), … (8,0) 아홉 가지 모두 답이다. 미지수의 개수만큼 독립적인 조건(식)이 있어야 답이 하나로 정해진다 — 연립의 존재 이유다.
연립방정식은 시행착오(대입해보기)로 푸는 것이다.
8마리면 아홉 번 안에 끝나지만 800마리면? 소거법은 식끼리 더하고 빼서 미지수를 하나 지우는 체계적 방법 — 크기와 무관하게 몇 줄로 끝난다. 시행착오는 발견의 도구, 소거는 해결의 도구다.
Formula
수식으로 정리하기
닭과 토끼에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
연립방정식 세우기
닭 x, 토끼 y. 머리 조건과 다리 조건 — 미지수 2개엔 독립적인 식 2개가 필요하다.
소거법
첫 식을 2배 해서 빼면 x가 사라진다 → y=3(토끼), x=5(닭). 미지수 하나를 지워 아는 문제로 만든다.
기하적 의미
각 식은 좌표평면의 직선이고, 연립의 해는 두 직선이 만나는 단 한 점이다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
입장권 계산
어른표+아이표 합쳐 5장에 47,000원, 어른 12,000원·아이 8,000원 — 각각 몇 장인지가 전형적인 연립이다. 영수증 한 장이 식 두 개를 준다.
두 요금제의 교차점
기본제와 무제한제의 비용식 두 개가 만나는 지점(교점)이 갈아탈 기준 사용량 — 부등식 실험실의 기준선이 사실 연립의 해였다.
혼합 문제
6% 소금물과 10% 소금물을 섞어 8% 400g 만들기 — 양 조건과 소금 조건, 식 두 개로 배합량이 정해진다. 요리·화학·제약의 배합 계산이 전부 연립이다.
내비게이션과 GPS
위성 여러 개에서 온 거리 조건들을 연립해 현재 위치를 한 점으로 조인다 — 조건이 겹칠수록 위치가 정확해지는 원리다.
Try Yourself
직접 풀어보기
Q1두 수의 합이 20, 차가 4입니다. 두 수는?답 보기 ▾
x+y=20, x−y=4. 두 식을 더하면 2x=24 → x=12, y=8. 더해서 한 미지수를 지우는 가감법의 가장 깔끔한 예입니다.
Q2어른표 12,000원, 아이표 8,000원. 5장에 총 52,000원이면 어른표는 몇 장?답 보기 ▾
x+y=5, 12000x+8000y=52000. 첫 식×8000을 빼면 4000x=12000 → 어른 3장, 아이 2장입니다.
Q3연립방정식 x+y=3, 2x+2y=6의 해는 몇 개일까요?답 보기 ▾
무수히 많습니다 — 둘째 식은 첫 식의 2배라서 사실 같은 조건(같은 직선)입니다. 식이 2개처럼 보여도 독립적이지 않으면 답이 조여지지 않습니다.
💡 답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
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