PROOF 106
증명하라.
해가 없거나 무수히 많은 경우
좌표평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
E₁ : a₁x + b₁y = c₁ 과 E₂ : a₂x + b₂y = c₂ 의 해집합은 두 식을 모두 참으로 만드는 (x, y) 전체다.
증명.
(1)각 식은 직선을 나타낸다. 즉 (a₁, b₁) ≠ (0, 0) 이고 (a₂, b₂) ≠ (0, 0) 이다.약속
(2)해집합은 두 식의 해집합의 교집합이다.약속
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정의 D2
D = a₁b₂ − a₂b₁ 을 이 연립의 행렬식이라 한다.
증명.
D 는 계수 네 개만으로 정해지며 상수항 c₁, c₂ 와 무관하다.약속
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보조정리 L1
모든 해는 Dx = c₁b₂ − c₂b₁ 과 Dy = a₁c₂ − a₂c₁ 을 만족한다.
증명.
(1)(x, y) 를 해라 하자.가정, D1
(2)E₁ 의 양변에 b₂ 를, E₂ 의 양변에 b₁ 을 곱한다.(1), E
(3)a₁b₂x + b₁b₂y = c₁b₂ 이고 a₂b₁x + b₁b₂y = c₂b₁(2), A1, A2
(4)두 식을 빼면 (a₁b₂ − a₂b₁)x = c₁b₂ − c₂b₁(3), A11, A1, A3, A4, A5
(5)즉 Dx = c₁b₂ − c₂b₁(4), D2
(6)E₂ 에 a₁ 을, E₁ 에 a₂ 를 곱해 빼면 같은 방법으로 Dy = a₁c₂ − a₂c₁(1), E, A1, A2, A11, A3, A4, A5, D2
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정리 T1
D ≠ 0 이면 해가 정확히 하나 있다.
증명.
(1)D ≠ 0 이라 하자.가정
(2)해 (x, y) 와 (x′, y′) 가 있으면 Dx = Dx′ 이고 Dy = Dy′ 이다.L1
(3)D ≠ 0 이므로 x = x′, y = y′ 다. 해는 많아야 하나다.(1), (2), A7
(4)x₀ = (c₁b₂ − c₂b₁)(1/D), y₀ = (a₁c₂ − a₂c₁)(1/D) 로 둔다.(1), A8
(5)a₁x₀ + b₁y₀ = (a₁(c₁b₂ − c₂b₁) + b₁(a₁c₂ − a₂c₁))(1/D)(4), A1, A2
(6)분자에서 −a₁c₂b₁ 과 b₁a₁c₂ 가 지워져 c₁(a₁b₂ − a₂b₁) = c₁D 가 남는다.(5), A1, A2, A3, A4, A5
(7)a₁x₀ + b₁y₀ = c₁D(1/D) = c₁ × 1 = c₁(5), (6), A2, A8, A6
(8)같은 방법으로 a₂x₀ + b₂y₀ = c₂D(1/D) = c₂(4), A1, A2, A3, A4, A5, A8, A6
(9)(x₀, y₀) 는 해이며, (3) 에 의해 그런 해는 그것뿐이다.(7), (8), (3), D1
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정리 T2
D = 0 이면 해가 없거나 무수히 많다.
증명.
(1)D = 0 이라 하자.가정
(2)해가 없으면 주장은 이미 참이다. 해 (x₀, y₀) 가 있다고 하자.가정, D1
(3)실수 s 마다 점 (x₀ − b₁s, y₀ + a₁s) 를 잡는다.약속
(4)a₁(x₀ − b₁s) + b₁(y₀ + a₁s) = (a₁x₀ + b₁y₀) + (−a₁b₁s + b₁a₁s)(3), A1, A2, A3, A4
(5)−a₁b₁s + b₁a₁s = 0 이므로 그 값은 c₁ 이다. 첫 식이 성립한다.(2), (4), A2, A5
(6)a₂(x₀ − b₁s) + b₂(y₀ + a₁s) = (a₂x₀ + b₂y₀) + (a₁b₂ − a₂b₁)s(3), A1, A2, A3, A4
(7)(a₁b₂ − a₂b₁)s = Ds = 0 × s = 0 이므로 그 값은 c₂ 다. 둘째 식도 성립한다.(1), (2), (6), D2, A9, A5
(8)(a₁, b₁) ≠ (0, 0) 이므로 s ≠ s′ 이면 b₁s ≠ b₁s′ 또는 a₁s ≠ a₁s′ 이다.D1, A7
(9)그러므로 서로 다른 s 는 서로 다른 해를 준다.(8), A3, A4, A5
(10)실수는 무수히 많으므로 해도 무수히 많다.(9), A12
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정리 T3
D = 0 일 때 두 경우가 모두 실제로 일어난다.
증명.
(1)x + y = 0 과 x + y = 1 에서 D = 1×1 − 1×1 = 0 이다.D2, A6, A5
(2)공통해가 있으면 0 = 1 이 되어 모순이다. 해가 없다.(1), D1, A10
(3)x + y = 0 과 2x + 2y = 0 에서 D = 1×2 − 2×1 = 0 이다.D2, A2, A6, A5
(4)(s, −s) 는 모든 실수 s 에 대하여 두 식을 모두 만족한다.A1, A5
(5)s 가 다르면 해도 다르므로 해가 무수히 많다.(4), A12
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따름정리 C
b₁ ≠ 0, b₂ ≠ 0 이면 D = 0 은 두 직선의 기울기가 같다는 뜻이다.
증명.
(1)b₁ ≠ 0 이므로 E₁ 은 y = (−a₁)(1/b₁)x + c₁(1/b₁) 로 쓰이고 m₁ = (−a₁)(1/b₁) 이다.A8, A1, A2, A6
(2)같은 방법으로 m₂ = (−a₂)(1/b₂) 다.A8, A1, A2, A6
(3)m₁ = m₂ 의 양변에 b₁b₂ 를 곱하면 −a₁b₂ = −a₂b₁(1), (2), E, A2, A8, A6
(4)그러므로 a₁b₂ = a₂b₁, 즉 D = 0 이다.(3), A5, D2
(5)거꾸로 D = 0 이면 a₁b₂ = a₂b₁ 이고, 양변에 (1/b₁)(1/b₂) 를 곱해 m₁ = m₂ 를 얻는다.D2, A5, E, A8, A2, A6
(6)행렬식이 0 이라는 대수의 조건은 기울기가 같다는 기하의 조건이다.(4), (5)
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비고
A8 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
해가 많아야 하나임을 보이는 줄과, 해가 적어도 하나 있음을 보이는 줄을 나누어 보라.