PROOF 105
증명하라.
가감법은 해집합을 바꾸지 않는다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
연립방정식 (E₁, E₂) 의 해집합은 두 식을 모두 참으로 만드는 순서쌍 (x, y) 전체다.
증명.
(1)E₁ 을 P = p, E₂ 를 Q = q 로 쓴다. P, Q 는 x 와 y 의 일차식이다.약속
(2)해집합은 E₁ 의 해집합과 E₂ 의 해집합의 교집합이다.약속
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정의 D2
E₂ + kE₁ 은 Q + kP = q + kp 를 뜻한다.
증명.
(1)kE₁ 은 E₁ 의 양변에 k 를 곱한 식 kP = kp 다.약속
(2)두 식을 좌변끼리, 우변끼리 더한 것이 E₂ + kE₁ 이다.약속
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보조정리 L1
(x, y) 가 E₁ 과 E₂ 를 만족하면 E₂ + kE₁ 도 만족한다.
증명.
(1)P = p 이고 Q = q 라 하자.가정, D1
(2)kP = kp(1), A1
(3)Q + kP = q + kp(1), (2), A2
(4)이 식이 E₂ + kE₁ 이다.(3), D2
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보조정리 L2
(E₂ + kE₁) + (−k)E₁ 은 E₂ 와 같은 식이다.
증명.
(1)kP + (−k)P = (k + (−k))PA6
(2)k + (−k) = 0A4
(3)(k + (−k))P = 0 × P = 0(2), A7
(4)(Q + kP) + (−k)P = Q + (kP + (−k)P)A3
(5) = Q + 0 = Q(1), (3), A5
(6)우변도 같은 방법으로 (q + kp) + (−k)p = qA6, A4, A7, A3, A5
(7)그 식은 Q = q, 즉 E₂ 다.(5), (6), D2
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정리 T1
(E₁, E₂) 의 해집합과 (E₁, E₂ + kE₁) 의 해집합은 같다.
증명.
(1)앞 연립의 해는 E₁ 을 만족하고, E₂ + kE₁ 도 만족한다.L1, D1
(2)그러므로 앞의 해집합은 뒤의 해집합에 포함된다.(1), D1
(3)이제 뒤 연립의 해를 잡자. 그것은 E₁ 과 E₂ + kE₁ 을 만족한다.가정, D1
(4)L1 을 두 식 E₁, E₂ + kE₁ 에 k 대신 −k 로 적용한다.(3), L1, A4
(5)그 해는 (E₂ + kE₁) + (−k)E₁ 을 만족한다.(4), D2
(6)그 식은 E₂ 이므로 뒤의 해집합도 앞의 해집합에 포함된다.(5), L2, D1
(7)두 해집합은 서로를 포함하므로 같다.(2), (6), S
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
정방향만 보이는 줄과 되돌리는 줄을 나누어 보라. 한쪽 포함만으로 두 연립이 같은 물음이라고 말할 수 있는지 확인하라.