PROOF 107
증명하라.
대입법과 가감법은 같은 답을 준다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
연립방정식의 해집합은 두 식을 모두 참으로 만드는 순서쌍 (x, y) 전체다.
증명.
해집합은 연립 자체로 정해진다. 푸는 방법과 무관하다.약속
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정의 D2
두 연립의 해집합이 같을 때 둘은 동치이며, 하나를 다른 하나로 바꾸는 조작을 동치변형이라 한다.
증명.
동치변형은 해를 잃지도 얻지도 않는다.약속, D1
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보조정리 L1
가감법의 한 단계는 동치변형이다.
증명.
(1)가감법의 한 단계는 (E₁, E₂) 를 (E₁, E₂ + kE₁) 로 바꾼다.약속
(2)두 연립의 해집합은 같다.(1), A1
(3)그러므로 동치변형이다.(2), D2
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보조정리 L2
대입법의 한 단계는 동치변형이다.
증명.
(1)a₁ ≠ 0 이라 하자. E₁ 은 x = f(y) 와 동치이며 f(y) 는 y 만의 식이다.A3
(2)대입법은 (x = f(y), E₂) 를 (x = f(y), E₂′) 로 바꾼다. E₂′ 은 E₂ 의 x 자리에 f(y) 를 넣은 식이다.(1), 약속
(3)이 연립의 해에서는 x = f(y) 가 참이다.(2), D1
(4)그러므로 x 를 f(y) 로 바꾸어도 E₂ 의 참·거짓이 변하지 않는다.(3), A2
(5)거꾸로 E₂′ 의 f(y) 를 x 로 바꾸면 E₂ 로 돌아온다. 같은 근거를 반대로 쓴 것이다.(3), A2
(6)두 연립의 해집합은 서로 같다.(4), (5), D1
(7)그러므로 동치변형이다.(6), D2
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보조정리 L3
동치변형을 이어 붙이면 다시 동치변형이다.
증명.
(1)연립 A 와 B 가 동치이고 B 와 C 가 동치라 하자.가정, D2
(2)A 의 해집합과 C 의 해집합은 모두 B 의 해집합과 같다.(1), D2
(3)그러므로 A 와 C 의 해집합은 같다.(2), A4
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정리 T1
가감법이 도달한 연립과 대입법이 도달한 연립은 해집합이 같다.
증명.
(1)가감법은 동치변형만 거친다.L1
(2)대입법도 동치변형만 거친다.L2, A3
(3)각 방법이 도달한 연립의 해집합은 처음 연립의 해집합과 같다.(1), (2), L3
(4)처음 연립의 해집합은 연립 자체로 하나로 정해진다.D1
(5)두 결과는 같은 하나의 집합과 각각 같으므로 서로 같다.(3), (4), A4
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정리 T2
대입한 뒤 x = f(y) 를 버리면 해집합이 커진다.
증명.
(1)(x = f(y), E₂′) 에 해가 있다고 하고 그 하나를 (x₀, y₀) 라 하자.가정, D1
(2)E₂′ 에는 x 가 없다.L2
(3)그러므로 임의의 실수 x 에 대하여 (x, y₀) 도 E₂′ 을 만족한다.(1), (2)
(4)f(y₀) + 1 은 f(y₀) 와 다르다. 같다면 1 = 0 이 되기 때문이다.A5, A6, A7
(5)x = f(y₀) + 1 을 잡으면 (x, y₀) 는 E₂′ 의 해이지만 x = f(y) 를 만족하지 않는다.(3), (4)
(6)E₂′ 하나만 남기면 해집합이 커진다. 대입은 x = f(y) 를 함께 남길 때만 동치변형이다.(5), D1, L2
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
대입이 해집합을 보존한다는 근거가 어느 줄에 있는지 확인하라. 넣는 줄과 다시 빼내는 줄을 나누어 보라.