그 점의 값과 별개로, 주변이 향하는 값을 묻는 극한

x≠2일 때 f(x)=(x²−4)/(x−2)를 살펴봅시다. 분자를 인수분해하면 (x−2)(x+2)입니다. x가 2가 아닐 때에는 x−2를 약분해 x+2로 계산할 수 있습니다.

1.9를 넣으면 3.9, 1.99를 넣으면 3.99입니다. 오른쪽에서도 2.01을 넣으면 4.01입니다. 입력이 2에 가까워질수록 출력은 4에 가까워집니다.

그렇지만 원래 식에 2를 그대로 넣을 수는 없습니다. 분모가 0이 되기 때문입니다. ‘2에서의 값’과 ‘2 주변의 값이 향하는 곳’은 서로 다른 질문입니다.

이 함수의 극한이 4라는 말은 단순히 몇 숫자를 계산했다는 뜻보다 강합니다. 2가 아닌 가까운 x에서 |f(x)−4|=|x−2|입니다. 입력의 오차를 작게 만들면 출력의 오차도 그만큼 작게 만들 수 있습니다.

극한값에는 절대로 도달하면 안 될까요? 그렇지 않습니다. f(x)=1은 처음부터 늘 1이고 어느 점에서도 극한값이 1입니다. 극한의 핵심은 도달 여부가 아니라 주변의 성질입니다.

또 한 점의 함수값을 따로 1로 바꾸어도 그 주변이 x+2를 따른다면 2에서의 극한은 여전히 4입니다. 이어지는 그림과 실험에서 한 점과 주변을 따로 읽어 보세요.

함수값은 그 점에 무엇이 놓여 있는지를 묻고, 극한값은 그 점 주변의 값들이 어디로 가까워지는지를 묻습니다. 두 질문을 분리하면 빈 점이 있는 함수도 정확하게 이야기할 수 있습니다.

다가가기 실험을 수학의 언어로 쓰면 다음과 같습니다.