PROOF 130
증명하라.
극한값은 유일하다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
lim aₙ = L 은 다음을 뜻한다. 모든 ε > 0 에 대하여 어떤 자연수 N 이 있어, n ≥ N 인 모든 n 에서 |aₙ − L| < ε 이다.
증명.
(1)ε 이 먼저 주어지고 N 은 그다음에 고른다. N 은 ε 에 따라 달라져도 된다.약속
(2)함수의 극한은 x 를 c 에 가까이 보내고 δ 로 가까움을 재지만, 수열의 극한은 n 을 크게 보내고 N 으로 늦음을 잰다.약속
(3)그래서 이 정의에는 0 < |x − c| 에 해당하는 제외 조건이 없다. 수열에는 건너뛸 점이 없고, N 이후의 항 전체를 한꺼번에 다룬다.약속
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보조정리 L1
자연수 N₁, N₂ 에 대하여 n ≥ N₁ 이고 n ≥ N₂ 인 자연수 n 이 존재한다.
증명.
(1)N = max(N₁, N₂) 로 둔다. N 은 N₁ 또는 N₂ 이므로 자연수다.A13
(2)N ≥ N₁ 이고 N ≥ N₂ 이다.(1), A13
(3)n = N 이 그러한 자연수다.(2)
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정리 T
lim aₙ = L₁ 이고 lim aₙ = L₂ 이면 L₁ = L₂ 이다.
증명.
(1)L₁ ≠ L₂ 라 하자.가정
(2)L₁ − L₂ ≠ 0 이므로 |L₁ − L₂| ≠ 0 이고, 0 ≤ |L₁ − L₂| 와 함께 0 < |L₁ − L₂| 이다.(1), A5, A4, A3, A14
(3)ε = |L₁ − L₂|/2 로 둔다. 0 < ε 이다.(2), A6
(4)이 ε 에 대하여 자연수 N₁ 이 있어, n ≥ N₁ 이면 |aₙ − L₁| < ε 이다.가정, (3), D1
(5)같은 ε 에 대하여 자연수 N₂ 가 있어, n ≥ N₂ 이면 |aₙ − L₂| < ε 이다.가정, (3), D1
(6)n ≥ N₁ 이고 n ≥ N₂ 인 자연수 n 을 하나 잡는다.(4), (5), L1
(7)그 n 에서 |aₙ − L₁| < ε 이고 |aₙ − L₂| < ε 이다.(4), (5), (6)
(8)|L₁ − aₙ| = |−(aₙ − L₁)| = |aₙ − L₁|A12, A2
(9)(L₁ − aₙ) + (aₙ − L₂) = L₁ − L₂A11
(10)|L₁ − L₂| ≤ |L₁ − aₙ| + |aₙ − L₂|(9), A1
(11)|L₁ − aₙ| + |aₙ − L₂| < ε + ε(7), (8), A8
(12)ε + ε = |L₁ − L₂|(3), A7
(13)|L₁ − L₂| < |L₁ − L₂|(10), (11), (12), A9
(14)이는 성립하지 않는다. 그러므로 L₁ = L₂ 이다.(13), A10
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따름정리 C
기호 lim aₙ 은 하나의 값을 가리킨다.
증명.
(1)D1 을 만족하는 L 이 둘일 수 없다.T
(2)그러한 L 이 있으면 하나뿐이므로 lim aₙ 이라는 이름을 붙일 수 있다.(1), D1
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
D1 은 한 항과 한 값 사이의 거리만 다룬다. 두 극한값 사이의 거리를 다루는 줄이 어디인지 확인하라.