PROOF 132
증명하라.
수렴하는 수열은 유계다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
lim aₙ = L 은 다음을 뜻한다. 모든 ε > 0 에 대하여 어떤 자연수 N 이 있어, n ≥ N 인 모든 n 에서 |aₙ − L| < ε 이다.
증명.
(1)ε 이 먼저 주어지고 N 은 그다음에 고른다.약속
(2)이 정의는 N 이후의 항에 대해서만 말한다. n < N 인 항이 어디에 있는지는 말하지 않는다.약속
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정의 D2
수열 (aₙ) 이 유계라는 것은 어떤 실수 M 이 있어 모든 자연수 n 에서 |aₙ| ≤ M 임을 뜻한다.
증명.
M 은 n 에 따라 달라지지 않는 하나의 수다. n 마다 |aₙ| 보다 큰 수가 있다는 것은 유계가 아니다.약속
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정리 T1
lim aₙ = L 이면 (aₙ) 은 유계다.
증명.
(1)ε = 1 로 둔다. 0 < 1 이다.A5
(2)이 ε 에 대하여 자연수 N 이 있어, n ≥ N 이면 |aₙ − L| < 1 이다.가정, (1), D1
(3)aₙ = (aₙ − L) + L 이므로 |aₙ| ≤ |aₙ − L| + |L| 이다.A9, A2
(4)n ≥ N 이면 |aₙ − L| + |L| < 1 + |L| 이다.(2), A8
(5)그러므로 n ≥ N 이면 |aₙ| < 1 + |L| 이다.(3), (4), A6
(6)F = { |a₁|, |a₂|, …, |a_N|, 1 + |L| } 로 둔다. F 는 유한집합이고 비어 있지 않다.약속
(7)F 에 최댓값 M 이 있다.(6), A1
(8)n < N 이면 |aₙ| 은 F 의 원소이므로 |aₙ| ≤ M 이다.(6), (7)
(9)1 + |L| 도 F 의 원소이므로 1 + |L| ≤ M 이고, n ≥ N 이면 |aₙ| < 1 + |L| ≤ M 이다.(5), (6), (7), A6
(10)모든 자연수 n 은 n < N 이거나 n ≥ N 이므로 모든 n 에서 |aₙ| ≤ M 이다.(8), (9), A11
(11)그러므로 (aₙ) 은 유계다.(10), D2
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정리 T2
유계인 수열이 반드시 수렴하지는 않는다.
증명.
(1)aₙ = (−1)ⁿ 로 둔다.약속
(2)n 이 짝수이면 aₙ = 1, 홀수이면 aₙ = −1 이다.(1), A13
(3)|1| = 1 이고 |−1| = |1| = 1 이므로 모든 n 에서 |aₙ| ≤ 1 이다.(2), A5, A4, A3
(4)그러므로 (aₙ) 은 유계다.(3), D2
(5)lim aₙ = L 이라 하자.가정
(6)ε = 1 에 대하여 자연수 N 이 있어, n ≥ N 이면 |aₙ − L| < 1 이다.(5), A5, D1
(7)2N ≥ N 이고 2N + 1 ≥ N 이다.A12
(8)n = 2N 에서 aₙ = 1 이므로 |1 − L| < 1 이다.(2), (6), (7)
(9)n = 2N + 1 에서 aₙ = −1 이므로 |−1 − L| < 1 이다.(2), (6), (7)
(10)|−1 − L| = |−(1 + L)| = |1 + L| = |L − (−1)|A3, A14
(11)(1 − L) + (L − (−1)) = 1 − (−1) = 1 + 1 = 2A10, A14
(12)|2| ≤ |1 − L| + |L − (−1)|(11), A2
(13)|1 − L| + |L − (−1)| < 1 + |L − (−1)| < 1 + 1 = 2(8), (9), (10), A8, A6, A14
(14)0 < 2 이므로 |2| = 2 이고, 2 < 2 가 되어 어긋난다.(12), (13), A5, A4, A6
(15)그러므로 ((−1)ⁿ) 은 수렴하지 않는다.(14), A7
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
N 이후의 항은 정의가 눌러 준다. N 이전의 항은 몇 개이며, 그 개수만으로 하나의 M 을 얻는가.