PROOF 39
증명하라.
극한의 ε-δ 정의
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
lim(x→c) f(x) = L 은 다음을 뜻한다. 모든 ε > 0 에 대하여 어떤 δ > 0 이 있어, 0 < |x − c| < δ 인 모든 x 에서 |f(x) − L| < ε 이다.
증명.
(1)ε 이 먼저 주어지고 δ 는 그다음에 고른다. δ 는 ε 에 따라 달라져도 된다.약속
(2)두 양화사의 순서를 바꾸면 다른 뜻이 된다. 정의는 이 순서까지 포함한다.약속
(3)조건 0 < |x − c| 는 x = c 를 제외한다. f(c) 의 값은 이 정의에 들어오지 않는다.약속
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보조정리 L1
δ > 0 이면 0 < |x − c| < δ 를 만족하는 x 가 존재한다.
증명.
(1)x = c + δ/2 로 둔다.약속
(2)x − c = δ/2(1), A13
(3)0 < δ/2가정, A6
(4)|x − c| = |δ/2| = δ/2(2), (3), A3
(5)δ/2 + δ/2 = δA7
(6)δ/2 < δ/2 + δ/2 = δ(3), (5), A8
(7)0 < |x − c| < δ(3), (4), (6)
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정리 T
lim(x→c) f(x) = L₁ 이고 lim(x→c) f(x) = L₂ 이면 L₁ = L₂ 이다.
증명.
(1)L₁ ≠ L₂ 라 하자.가정
(2)L₁ − L₂ ≠ 0 이므로 |L₁ − L₂| ≠ 0 이고 0 < |L₁ − L₂| 이다.(1), A5, A4, A3
(3)ε = |L₁ − L₂|/2 로 둔다. 0 < ε 이다.(2), A6
(4)이 ε 에 대하여 δ₁ > 0 이 있어, 0 < |x−c| < δ₁ 이면 |f(x) − L₁| < ε 이다.가정, (3), D1
(5)같은 ε 에 대하여 δ₂ > 0 이 있어, 0 < |x−c| < δ₂ 이면 |f(x) − L₂| < ε 이다.가정, (3), D1
(6)δ = min(δ₁, δ₂) 로 둔다. δ 는 δ₁ 또는 δ₂ 이므로 0 < δ 이다.(4), (5), A15
(7)0 < |x − c| < δ 인 x 를 하나 잡는다.(6), L1
(8)δ ≤ δ₁ 이고 δ ≤ δ₂ 이므로 그 x 는 (4) 와 (5) 의 조건을 모두 만족한다.(6), (7), A15, A9
(9)|f(x) − L₁| < ε 이고 |f(x) − L₂| < ε 이다.(4), (5), (8)
(10)|L₁ − f(x)| = |−(f(x) − L₁)| = |f(x) − L₁|A14, A2
(11)(L₁ − f(x)) + (f(x) − L₂) = L₁ − L₂A12
(12)|L₁ − L₂| ≤ |L₁ − f(x)| + |f(x) − L₂|(11), A1
(13)|L₁ − f(x)| + |f(x) − L₂| < ε + ε(9), (10), A11
(14)ε + ε = |L₁ − L₂|(3), A7
(15)|L₁ − L₂| < |L₁ − L₂|(12), (13), (14), A9
(16)이는 성립하지 않는다. 그러므로 L₁ = L₂ 이다.(15), A10
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따름정리 C
기호 lim(x→c) f(x) 는 하나의 값을 가리킨다.
증명.
(1)D1 을 만족하는 L 이 둘일 수 없다.T
(2)그러한 L 이 있으면 그것은 하나뿐이므로 lim(x→c) f(x) 라는 이름을 붙일 수 있다.(1), D1
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
D1 은 f(x) 와 L 하나 사이의 거리만 다룬다. 두 극한값 사이의 거리를 다루는 줄이 어디인지 확인하라.