PROOF 131
증명하라.
sin x 를 x 로 나눈 값의 극한은 1
단위원 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
원점 O 를 중심으로 반지름이 1 인 원을 단위원이라 하고 A = (1, 0) 이라 한다. x 축의 양의 방향에서 반시계 방향으로 각 x 를 이루는 반직선이 단위원과 만나는 점을 P = (cos x, sin x) 라 하고, 두 반지름 OA, OP 와 호로 둘러싸인 부분을 부채꼴 S 라 한다. tan x = sin x / cos x 로 정한다.
증명.
(1)각 x 는 라디안으로 잰다. 부채꼴 S 의 중심각은 x 이고 반지름은 1 이다.약속
(2)0 < x < π/2 이면 0 < cos x 이므로 tan x 가 값을 갖는다.약속, A5
(3)반직선 OP 위의 점은 t > 0 에 대하여 (t cos x, t sin x) 이며, t = 1/cos x 에서 x 좌표가 1 이 된다. A 에서 그은 접선과의 교점을 Q 라 하면 Q = (1, tan x) 이다.약속, A5, A12, A20
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정의 D2
lim(x→0) f(x) = L 은 다음을 뜻한다. 모든 ε > 0 에 대하여 어떤 δ > 0 이 있어, 0 < |x| < δ 인 모든 x 에서 |f(x) − L| < ε 이다.
증명.
(1)ε 이 먼저 주어지고 δ 는 그다음에 고른다.약속
(2)조건 0 < |x| 는 x = 0 을 제외한다. sin x / x 는 x = 0 에서 값을 갖지 않으므로 이 제외가 필요하다.약속
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보조정리 L1
0 < x < π/2 이면 sin x ≤ x ≤ tan x 이다.
증명.
(1)[△OAP] = ½ × 1 × sin x = sin x / 2. 밑변은 OA 이고 높이는 P 의 y 좌표다.D1, A2, A20
(2)[S] = ½ × 1² × x = x / 2D1, A3, A20
(3)[△OAQ] = ½ × 1 × tan x = tan x / 2. 밑변은 OA 이고 높이는 Q 의 y 좌표다.D1, A2, A20
(4)△OAP ⊆ S ⊆ △OAQA4
(5)sin x / 2 ≤ x / 2 ≤ tan x / 2(1), (2), (3), (4), A1
(6)양변에 2 를 곱하면 sin x ≤ x ≤ tan x 이다.(5), A16, A10, E, A20
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보조정리 L2
0 < |x| < π/2 이면 cos x ≤ sin x / x ≤ 1 이다.
증명.
(1)먼저 0 < x < π/2 라 하자.가정
(2)sin x ≤ x ≤ tan x(1), L1
(3)0 < 1/x 이다.(1), A12
(4)sin x ≤ x 의 양변에 1/x 를 곱하면 sin x / x ≤ 1 이다.(2), (3), A10, A20
(5)0 < cos x 이므로 x ≤ tan x = sin x / cos x 의 양변에 cos x 를 곱하면 x cos x ≤ sin x 이다.(1), (2), D1, A5, A10, A20
(6)다시 1/x 를 곱하면 cos x ≤ sin x / x 이다.(3), (5), A10, A20
(7)그러므로 0 < x < π/2 에서 cos x ≤ sin x / x ≤ 1 이다.(4), (6)
(8)이제 −π/2 < x < 0 이라 하고 u = −x 로 둔다. 0 < u < π/2 이다.가정, A20
(9)sin x / x = (−sin u) / (−u) = sin u / u(8), A6, A20
(10)cos x = cos(−u) = cos u(8), A7
(11)(7) 을 u 에 쓰면 cos u ≤ sin u / u ≤ 1 이므로 cos x ≤ sin x / x ≤ 1 이다.(7), (9), (10)
(12)0 < |x| < π/2 이면 x ≠ 0 이므로 x > 0 이거나 x < 0 이고, 두 경우가 전부다.(7), (11), A17, A21
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보조정리 L3
lim(x→0) cos x = 1
증명.
(1)0 < x < π/2 라 하자. 0 < x/2 < x < π/2 이다.가정, A14, A11
(2)0 < sin(x/2) 이고 sin(x/2) ≤ x/2 이다.(1), A5, L1
(3)sin²(x/2) ≤ (x/2)²(2), A13
(4)1 − cos x = 2 sin²(x/2) ≤ 2 (x/2)² = x²/2(3), A9, A16, A10, E, A20
(5)cos x ≤ 1 이므로 0 ≤ 1 − cos x 이다.A8, A20
(6)−π/2 < x < 0 이면 cos x = cos(−x) 이고 (−x)² = x² 이므로 같은 부등식이 성립한다.(4), A7, A20
(7)그러므로 0 < |x| < π/2 이면 |cos x − 1| = 1 − cos x ≤ x²/2 = |x|²/2 이다.(4), (5), (6), A17, A21, A20
(8)ε > 0 이 주어졌다고 하자. δ = min(ε, 1, π/2) 로 둔다.가정
(9)δ 는 ε, 1, π/2 중 하나이고 셋은 모두 양수이므로 0 < δ 이다.(8), A15, A16
(10)0 < |x| < δ 이면 δ ≤ 1 이므로 |x| < 1 이고, 양변에 |x| 를 곱하면 |x|² ≤ |x| 이다.(8), A15, A11, A10, A20
(11)0 < |x|² 이므로 |x|²/2 < |x|² ≤ |x| < δ ≤ ε 이다.(8), (10), A10, A14, A15, A11
(12)그러므로 |cos x − 1| < ε 이고, lim(x→0) cos x = 1 이다.(7), (11), A11, D2
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정리 T
lim(x→0) sin x / x = 1
증명.
(1)0 < |x| < π/2 에서 cos x ≤ sin x / x ≤ 1 이다.L2
(2)lim(x→0) cos x = 1L3
(3)lim(x→0) 1 = 1A19
(4)양쪽이 모두 1 로 가고 sin x / x 가 그 사이에 있으므로 lim(x→0) sin x / x = 1 이다.(1), (2), (3), A18, D2
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비고
A18 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
부등식이 양쪽에서 1 로 좁혀지는 것과, 사이에 낀 것이 1 로 가는 것은 같은 말인가.