sin · 삼각함수
원 위를 도는 삼각비, 회전하는 모든 것의 언어
삼각비 표는 90°에서 끝난다. 그럼 sin 150°는 도대체 무엇일까?
소리도 계절도 교류 전기도, 알고 보면 하나의 물결
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
삼각비는 측량의 자였지만 90°에서 멈춥니다. 그런데 세상에는 90°를 넘어 계속 도는 것들이 있어요. 바퀴, 행성, 진자, 파도처럼요. 회전을 담을 언어가 필요했습니다.
해법은 삼각비를 직각삼각형에서 떼어내 원 위에 올리는 것이었습니다. 반지름 1인 원을 도는 점의 높이를 sin, 가로 위치를 cos이라 다시 정의해요. 그러면 모든 각도에서 값이 나오고, 한 바퀴마다 같은 값이 반복됩니다.
이 반복되는 함수가 파동의 수학이 됐습니다. 소리, 빛, 전파, 교류 전기, 심장 박동까지, 주기적인 모든 현상이 사인과 코사인의 조합으로 표현돼요(푸리에의 발견).
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 삼각비 표는 90°까지밖에 없습니다. 그럼 sin 150°는?
관람차를 돌려보세요
반지름 1인 원 위의 점 — 높이(y좌표)가 곧 sin입니다. 90°를 넘겨보세요.
0°
회전각
0.000
높이 (sin θ)
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
삼각함수는 직각삼각형의 비를 회전하는 각 전체로 넓혀 읽는 방식입니다. 단위원의 좌표를 사용하면 음수나 한 바퀴 넘는 각도 같은 하나의 규칙으로 다룰 수 있습니다.
단위원에서 각 0의 점은 (1,0), π/2의 점은 (0,1)입니다. x좌표가 cos, y좌표가 sin이므로 회전하며 값이 반복되는 이유를 볼 수 있습니다.
사인 곡선은 회전의 그림자다.
관람차 옆에서 보면 관람차 칸은 위아래로만 움직입니다. 그 상하 운동을 시간축에 기록하면 정확히 사인 곡선이에요. 원운동의 1차원 그림자가 파동입니다.
주기성은 자연의 기본 문법이다.
지구의 자전(하루), 공전(1년), 심장 박동, 교류 전기(60Hz)처럼 자연은 반복으로 가득합니다. 반복을 다루는 수학 언어가 삼각함수예요. 그래서 물리학 어디에나 sin이 등장합니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
라디안과 도를 구분합니다. 삼각함수의 기본 미분 공식에는 라디안이 사용됩니다.
관람차 실험에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 관람차 실험과 짝지어 보기
= ()
확장된 정의 (단위원)
원점 중심 반지름 1인 원을 θ만큼 돈 점의 좌표가 (cos θ, sin θ)입니다. 삼각형이 필요 없어져 모든 각도로 넓어져요.
주기성
한 바퀴 돌면 제자리입니다. 그래서 그래프가 물결처럼 반복돼요. 이 반복이 파동 수학의 심장입니다.
일반 파동
A(진폭)는 물결의 높이, ω(각진동수)는 도는 속도입니다. 소리의 크기와 음높이가 정확히 이 두 손잡이예요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
sin은 직각삼각형이 있어야만 정의된다.
그건 0°~90° 시절의 이야기입니다. 넓어진 정의에서 sin θ는 단위원 위를 θ만큼 돈 점의 높이(y좌표)예요. 삼각형 없이도, 150°든 1000°든 음수 각이든 값이 정해집니다.
sin 곡선의 물결 모양은 그냥 그렇게 생긴 그래프다.
물결은 회전의 그림자입니다. 원 위를 도는 점의 높이를 시간축에 펼치면 저 곡선이 나와요. 사인 곡선이 바퀴, 소리, 계절 어디에나 나타나는 이유는 그것들이 모두 회전 또는 반복이기 때문입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
소리와 음악
라(A4) 음은 초당 440번 진동하는 사인파입니다. 악기 소리는 여러 사인파의 합이에요. 음색의 차이는 배음 조합의 차이입니다.
교류 전기
콘센트의 전압은 60Hz 사인파로 출렁입니다(한국 기준). 발전기의 회전이 그대로 사인 곡선이 되어 집까지 와요.
계절과 낮 길이
1년 동안 낮의 길이는 사인 곡선을 그립니다. 지구 공전이라는 회전의 그림자예요. 여름과 겨울의 정점이 곡선의 마루와 골입니다.
GPS·통신의 전파
와이파이, 5G, 라디오까지 모든 무선 통신은 사인파에 정보를 실어 보냅니다. 변조(modulation)란 A와 ω를 조작하는 기술이에요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
sin의 값이 한 바퀴 뒤에 같아지는 이유를 좌표로 말해 보세요.
생각한 뒤 설명 확인하기
회전한 점이 같은 위치로 돌아오므로 y좌표도 같아집니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. sin 150°의 값은 얼마일까요?
2. sin θ가 음수가 되는 것은 언제일까요?
3. 관람차가 2배 빨리 돌면 높이 그래프는 어떻게 될까요?
4. sin 390°의 값은 얼마일까요? (소수로 답하세요)
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1sin 150°는 얼마일까요? 단위원에서 생각해 보세요.답 보기 ▾
150°는 30°를 지나 반대편으로 향하는 위치입니다. 높이는 sin 30°와 같은 1/2이에요. 단위원에서 150° 점과 30° 점은 y좌표가 같기 때문이죠. sin 150° = sin 30° = 0.5입니다.
Q2sin θ가 음수가 되는 것은 언제일까요?답 보기 ▾
점이 원의 아래쪽 절반에 있을 때, 즉 180° < θ < 360°일 때입니다. 높이가 수평선 아래로 내려가면 음수예요. 넓어진 정의가 자연스럽게 음수까지 담습니다.
Q3관람차가 2배 빨리 돌면 높이 그래프는 어떻게 변할까요?답 보기 ▾
물결이 옆으로 2배 촘촘해집니다. y = sin(2ωt)로 주기가 절반이에요. 진동수가 2배가 된 것이고, 소리라면 한 옥타브 높은 음이 됩니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
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