소리도 계절도 교류 전기도, 알고 보면 하나의 물결
삼각비 표는 90°에서 끝난다. 그럼 sin 150°는 도대체 무엇일까?
원 위를 도는 삼각비, 회전하는 모든 것의 언어
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 삼각비 표는 90°까지밖에 없습니다. 그럼 sin 150°는?
관람차를 돌려보세요
반지름 1인 원 위의 점 — 높이(y좌표)가 곧 sin입니다. 90°를 넘겨보세요.
0°
회전각
0.000
높이 (sin θ)
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
삼각비는 측량의 자였지만 90°에서 멈춥니다. 그런데 세상에는 90°를 넘어 계속 도는 것들이 있어요. 바퀴, 행성, 진자, 파도처럼요. 회전을 담을 언어가 필요했습니다.
해법은 삼각비를 직각삼각형에서 떼어내 원 위에 올리는 것이었습니다. 반지름 1인 원을 도는 점의 높이를 sin, 가로 위치를 cos이라 다시 정의해요. 그러면 모든 각도에서 값이 나오고, 한 바퀴마다 같은 값이 반복됩니다.
이 반복되는 함수가 파동의 수학이 됐습니다. 소리, 빛, 전파, 교류 전기, 심장 박동까지, 주기적인 모든 현상이 사인과 코사인의 조합으로 표현돼요(푸리에의 발견).
Insight
영상에서 말한 인사이트
“사인 곡선은 회전의 그림자다.”
관람차 옆에서 보면 관람차 칸은 위아래로만 움직입니다. 그 상하 운동을 시간축에 기록하면 정확히 사인 곡선이에요. 원운동의 1차원 그림자가 파동입니다.
“주기성은 자연의 기본 문법이다.”
지구의 자전(하루), 공전(1년), 심장 박동, 교류 전기(60Hz)처럼 자연은 반복으로 가득합니다. 반복을 다루는 수학 언어가 삼각함수예요. 그래서 물리학 어디에나 sin이 등장합니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
sin은 직각삼각형이 있어야만 정의된다.
그건 0°~90° 시절의 이야기입니다. 넓어진 정의에서 sin θ는 단위원 위를 θ만큼 돈 점의 높이(y좌표)예요. 삼각형 없이도, 150°든 1000°든 음수 각이든 값이 정해집니다.
sin 곡선의 물결 모양은 그냥 그렇게 생긴 그래프다.
물결은 회전의 그림자입니다. 원 위를 도는 점의 높이를 시간축에 펼치면 저 곡선이 나와요. 사인 곡선이 바퀴, 소리, 계절 어디에나 나타나는 이유는 그것들이 모두 회전 또는 반복이기 때문입니다.
Formula
수식으로 정리하기
관람차 실험에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 관람차 실험과 짝지어 보기
= ()
확장된 정의 (단위원)
원점 중심 반지름 1인 원을 θ만큼 돈 점의 좌표가 (cos θ, sin θ)입니다. 삼각형이 필요 없어져 모든 각도로 넓어져요.
주기성
한 바퀴 돌면 제자리입니다. 그래서 그래프가 물결처럼 반복돼요. 이 반복이 파동 수학의 심장입니다.
일반 파동
A(진폭)는 물결의 높이, ω(각진동수)는 도는 속도입니다. 소리의 크기와 음높이가 정확히 이 두 손잡이예요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
소리와 음악
라(A4) 음은 초당 440번 진동하는 사인파입니다. 악기 소리는 여러 사인파의 합이에요. 음색의 차이는 배음 조합의 차이입니다.
교류 전기
콘센트의 전압은 60Hz 사인파로 출렁입니다(한국 기준). 발전기의 회전이 그대로 사인 곡선이 되어 집까지 와요.
계절과 낮 길이
1년 동안 낮의 길이는 사인 곡선을 그립니다. 지구 공전이라는 회전의 그림자예요. 여름과 겨울의 정점이 곡선의 마루와 골입니다.
GPS·통신의 전파
와이파이, 5G, 라디오까지 모든 무선 통신은 사인파에 정보를 실어 보냅니다. 변조(modulation)란 A와 ω를 조작하는 기술이에요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
sin 150°의 값은 얼마일까요?
sin θ가 음수가 되는 것은 언제일까요?
관람차가 2배 빨리 돌면 높이 그래프는 어떻게 될까요?
sin 390°의 값은 얼마일까요? (소수로 답하세요)
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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Connection
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