PROOF 128

증명하라.

삼각함수의 주기는 한 바퀴에서 나온다

단위원 위에서.

한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다

먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.

정의 D1

원점을 중심으로 반지름이 1 인 원을 단위원이라 한다. x축의 양의 방향에서 반시계 방향으로 각 θ 를 이루는 반직선이 단위원과 만나는 점을 P(θ) 라 하고, P(θ) = (x, y) 에 대하여 cos θ = x, sin θ = y 로 정의한다.

증명.

(1)각 실수 θ 마다 그러한 점은 하나뿐이므로 cos 과 sin 은 함수다.A1

(2)−(x, y) 는 (−x, −y) 를 뜻한다.약속

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정의 D2

cos θ ≠ 0 인 θ 에 대하여 tan θ = sin θ ÷ cos θ 로 정의한다.

증명.

cos θ = 0 인 θ 에서는 tan θ 를 정의하지 않는다.약속

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정의 D3

T > 0 이고 정의역의 모든 θ 에 대하여 f(θ + T) = f(θ) 이면 T 를 f 의 주기라 한다. 주기 중 가장 작은 것을 기본주기라 한다.

증명.

주기는 함수가 같은 값을 되풀이하는 간격이다.약속

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정리 T1

2π 는 cos 과 sin 의 주기다. 즉 모든 θ 에 대하여 cos(θ + 2π) = cos θ 이고 sin(θ + 2π) = sin θ 이다.

증명.

(1)0 < π < 2π 이므로 2π > 0 이다.A8

(2)P(θ + 2π) = P(θ)A2

(3)P(θ + 2π) = (cos(θ+2π), sin(θ+2π)) 이고 P(θ) = (cos θ, sin θ)D1

(4)두 순서쌍이 같으므로 cos(θ+2π) = cos θ, sin(θ+2π) = sin θ(2), (3), A5

(5)모든 θ 에서 성립하므로 2π 는 두 함수의 주기다.(1), (4), D3

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정리 T2

0 < T < 2π 인 T 는 cos 과 sin 의 공통 주기가 될 수 없다.

증명.

(1)0 < T < 2π 이고 모든 θ 에서 cos(θ+T) = cos θ, sin(θ+T) = sin θ 라 하자.가정, D3

(2)두 좌표가 각각 같으므로 P(θ + T) = P(θ)(1), D1, A5

(3)θ = 0 을 넣으면 P(T) = P(0)(2)

(4)0 ≤ 0 < T < 2π 이므로 P(0) ≠ P(T)(1), A4

(5)(3) 과 (4) 는 함께 성립할 수 없으므로 그러한 T 는 없다.(3), (4)

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따름정리 C1

2π 는 cos 과 sin 의 기본주기다.

증명.

(1)2π 는 주기다.T1

(2)0 < T < 2π 인 공통 주기는 없다.T2

(3)그러므로 2π 는 가장 작은 공통 주기, 곧 기본주기다.(1), (2), D3

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따름정리 C2

cos θ ≠ 0 이면 tan(θ + π) = tan θ 이다. 즉 π 는 tan 의 주기다.

증명.

(1)P(θ + π) = −P(θ) = (−cos θ, −sin θ)A3, D1

(2)두 순서쌍이 같으므로 cos(θ+π) = −cos θ, sin(θ+π) = −sin θ(1), A5

(3)cos θ ≠ 0 이므로 −cos θ ≠ 0 이고 tan(θ+π) 가 정의된다.(2), A7, D2

(4)tan(θ+π) = (−sin θ) ÷ (−cos θ)(2), (3), D2

(5)(−sin θ) ÷ (−cos θ) = sin θ ÷ cos θ = tan θ(4), A6, D2

(6)0 < π 이므로 π 는 tan 의 주기다.(5), A8, D3

(7)대척점에서 두 좌표의 부호가 함께 뒤집히므로 그 비는 변하지 않는다.(2), (5)

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비고

A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.

값이 정해지는 줄과 값이 되풀이되는 줄을 나누어 보라. 한 바퀴 안의 일과 한 바퀴 밖의 일은 다른 공리에 기댄다.