PROOF 33
증명하라.
sin²θ + cos²θ = 1
단위원 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
예각 θ 에 대하여, θ 를 갖는 직각삼각형에서 sin θ 는 θ 의 대변을 빗변으로 나눈 값, cos θ 는 θ 의 이웃변을 빗변으로 나눈 값이다.
증명.
(1)θ 를 갖는 직각삼각형이 존재하므로 두 값을 잡을 수 있다.A3
(2)두 값은 어느 삼각형에서 재든 같다.A2
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정의 D2
임의의 실수 θ 에 대하여, x축의 양의 방향에서 반시계 방향으로 각 θ 를 이루는 반직선이 단위원과 만나는 점을 P(θ) 라 하고, 그 좌표 (x, y) 에 대하여 cos θ = x, sin θ = y 로 정의한다.
증명.
(1)각 θ 마다 그러한 점은 하나뿐이다.A5
(2)P(θ) 는 단위원 위의 점이므로 OP(θ) = 1(1), A4
(3)이 정의는 예각을 넘어 모든 실수 θ 에서 값을 준다. 예각에서 D1 과 어긋나지 않는지는 L2 에서 확인한다.(1), 약속
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보조정리 L1
단위원 위의 점 (x, y) 는 x² + y² = 1 을 만족한다.
증명.
(1)P = (x, y) 가 단위원 위의 점이면 OP = 1A4
(2)x ≠ 0 이고 y ≠ 0 이라 하자. H = (x, 0) 으로 둔다.가정
(3)OH 는 가로 선분이고 OH = |x|, HP 는 세로 선분이고 HP = |y|(2), A7
(4)두 선분은 수직이므로 삼각형 OHP 는 H 에서 직각이고 빗변은 OP 이다.(3), A8
(5)OP² = OH² + HP²(4), A1
(6)1² = |x|² + |y|² 이므로 1 = x² + y²(1), (3), (5), A9, A10
(7)y = 0 이라 하자. 그러면 OP 는 가로 선분이므로 |x| = 1(1), A7
(8)x² = |x|² = 1 이고 y² = 0 이므로 x² + y² = 1 + 0 = 1(7), A9, A10, A11
(9)x = 0 인 경우도 세로 선분으로 같은 방법으로 성립한다.(1), A7, A9, A10, A11
(10)모든 경우에 x² + y² = 1(6), (8), (9)
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보조정리 L2
0° < θ < 90° 이면 D2 가 주는 cos θ, sin θ 는 D1 이 주는 값과 같다.
증명.
(1)P(θ) = (x, y) 로 두면 x > 0, y > 0D2, A6
(2)H = (x, 0) 으로 두면 OH = |x| = x, HP = |y| = y(1), A7, A9
(3)두 선분은 수직이므로 삼각형 OHP 는 H 에서 직각이고 빗변은 OP = 1 이다.(2), A8, D2
(4)H 는 x축의 양의 방향 위에 있으므로 ∠HOP = θ(1), D2
(5)삼각형 OHP 에서 θ 의 대변은 HP, 이웃변은 OH 이다.(3), (4)
(6)D1 에 따라 sin θ = HP ÷ OP = y ÷ 1 = y, cos θ = OH ÷ OP = x ÷ 1 = x(2), (3), (5), D1, A10
(7)D2 도 sin θ = y, cos θ = x 를 주므로 두 정의는 일치한다.(6), D2
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정리 T1
모든 실수 θ 에 대하여 sin²θ + cos²θ = 1
증명.
(1)P(θ) = (cos θ, sin θ) 는 단위원 위의 점이다.D2
(2)cos²θ + sin²θ = 1(1), L1
(3)sin²θ + cos²θ = 1(2), A12
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따름정리 C
예각 θ 를 갖는 직각삼각형에서도 (대변 ÷ 빗변)² + (이웃변 ÷ 빗변)² = 1
증명.
(1)예각 θ 에서 D1 의 값과 D2 의 값은 같다.L2
(2)모든 θ 에서 sin²θ + cos²θ = 1T1
(3)그러므로 D1 이 주는 두 비에 대해서도 성립한다.(1), (2), D1
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
정의를 세우는 줄과 길이의 제곱을 다루는 줄을 나누어 보라. 둘 중 하나만 A1 을 쓴다.