PROOF 194
증명하라.
0.999… = 1 은 극한의 문제다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
0.999… 는 부분합 수열 (sₙ) 의 극한을 뜻한다.
증명.
(1)sₙ = 9·10⁻¹ + 9·10⁻² + ⋯ + 9·10⁻ⁿ 으로 둔다. 9 가 n 개인 유한소수다.약속
(2)0.999… 는 자리를 한없이 이어 쓴 기호이며, 그 값은 lim sₙ 으로 정한다. 이 기호가 어떤 수를 가리키는지는 극한이 확정되어야 정해진다.약속
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정의 D2
lim sₙ = L 이란: 임의의 ε > 0 에 대하여 어떤 N 이 있어, n ≥ N 인 모든 n 에서 |sₙ − L| < ε 인 것을 뜻한다.
증명.
가까워진다는 말을 이 부등식 하나로 바꾼다. 극한에 관한 모든 주장은 이 정의를 통해서만 확인된다.약속
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보조정리 L1
모든 n 에 대하여 sₙ = 1 − 10⁻ⁿ
증명.
(1)n = 1: s₁ = 9·10⁻¹ = 0.9 = 1 − 10⁻¹D1, N
(2)sₙ = 1 − 10⁻ⁿ 이라 가정하면 sₙ₊₁ = sₙ + 9·10⁻⁽ⁿ⁺¹⁾가정, D1
(3) = 1 − 10·10⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ + 9·10⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ = 1 − 10⁻⁽ⁿ⁺¹⁾(2), A4, N, E
(4)귀납법에 의해 모든 n 에서 성립한다.(1), (3), A3
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보조정리 L2
모든 n 에 대하여 10⁻ⁿ ≤ 1/n
증명.
(1)10ⁿ = (1 + 9)ⁿ ≥ 1 + 9n > nA2, N
(2)0 < n < 10ⁿ 이므로 10⁻ⁿ ≤ 1/n(1), A5
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정리 T1
lim sₙ = 1
증명.
(1)ε > 0 을 임의로 주자.가정
(2)아르키메데스 성질에 의해 1/N < ε 인 자연수 N 이 있다.(1), A1
(3)|sₙ − 1| = |−10⁻ⁿ| = 10⁻ⁿL1, E, N
(4)n ≥ N 이면 10⁻ⁿ ≤ 1/n ≤ 1/N < εL2, A5, (2), A6
(5)그러므로 n ≥ N 인 모든 n 에서 |sₙ − 1| < ε. D2 의 조건이 채워졌다.(3), (4), D2
(6)lim sₙ = 1(5), D2
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따름정리 C
0.999… = 1. 이 등식은 표기의 정의와 극한의 결과다.
증명.
(1)0.999… = lim sₙD1
(2)lim sₙ = 1T1
(3)0.999… = 1(1), (2), E
(4)x = 0.999… 로 두고 10x − x 를 계산하는 조작(증명 06)은 x 가 가리키는 수의 존재를 전제한다. 그 존재와 값이 여기서 확정되었다.(3)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
10⁻ⁿ 이 줄어든다는 것과, 어떤 양수보다도 작아진다는 것은 다른 말이다.