PROOF 193
증명하라.
e 는 증가율이 자기 자신인 자리에서 나온다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
자연수 n 에 대하여 aₙ = (1 + 1/n)ⁿ 으로 정한다.
증명.
(1)a₁ = 2, a₂ = (3/2)² = 2.25, a₃ = (4/3)³ = 64/27 = 2.370…약속, N
(2)각 aₙ 은 유한 번의 곱으로 정해지는 유리수다.약속
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보조정리 L1
모든 n 에 대하여 aₙ < aₙ₊₁
증명.
(1)1 + 1/n 을 n 개, 1 을 한 개, 모두 n + 1 개의 양수를 취한다. 이들이 모두 같지는 않다.약속
(2)산술평균은 (n(1 + 1/n) + 1)/(n + 1) = (n + 2)/(n + 1) = 1 + 1/(n + 1)(1), N
(3)기하평균은 ((1 + 1/n)ⁿ · 1) 의 n+1 제곱근, 곧 aₙ 의 n+1 제곱근이다.(1), D1, N
(4)모두 같지는 않으므로 부등호는 엄격하다: aₙ 의 n+1 제곱근 < 1 + 1/(n + 1)(2), (3), A1
(5)양변은 양수다. n+1 제곱을 취하면 aₙ < (1 + 1/(n+1))ⁿ⁺¹ = aₙ₊₁(4), A2, D1
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보조정리 L2
모든 n 에 대하여 aₙ < 3
증명.
(1)aₙ = (1 + 1/n)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ C(n,k)/nᵏD1, A3
(2)C(n,k)/nᵏ = (1/k!) · (n/n)((n−1)/n)⋯((n−k+1)/n) ≤ 1/k! — 각 인수가 1 이하다.(1), N
(3)k ≥ 1 에서 k! = 1·2·3⋯k ≥ 1·2·2⋯2 = 2ᵏ⁻¹, 따라서 1/k! ≤ 1/2ᵏ⁻¹N
(4)aₙ ≤ 1 + Σₖ₌₁ⁿ 1/2ᵏ⁻¹(1), (2), (3), A4
(5)Σₖ₌₁ⁿ 1/2ᵏ⁻¹ = 1 + 1/2 + ⋯ + 1/2ⁿ⁻¹ = 2 − 2¹⁻ⁿ < 2A5, N
(6)aₙ < 1 + 2 = 3(4), (5), N
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정리 T1
수열 (aₙ) 은 수렴한다. 그 극한을 e 라 이름 붙인다.
증명.
(1)(aₙ) 은 증가한다.L1
(2)(aₙ) 은 위로 3 으로 유계다.L2
(3)유계 증가 수열이므로 (aₙ) 이 다가가는 수가 존재한다.(1), (2), A6
(4)그 수를 e 라 적는다. a₁ = 2 이고 수열은 증가하며 3 을 넘지 않으므로 2 < e ≤ 3.(3), D1, L1, L2, 약속
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진술 T2
(eˣ)′ = eˣ. 지수함수 eˣ 는 증가율이 자기 자신이다.
(1)도함수의 정의와 지수법칙 eˣ⁺ʰ = eˣ·eʰ 에서 (eˣ)′ = eˣ · lim (eʰ − 1)/h (h → 0).T1, 약속
(2)남는 것은 lim (eʰ − 1)/h = 1 이다. 이는 T1 의 극한 정의에서 따라 나오지만, 그 유도에는 극한의 교환이 필요하다. 여기서는 증명하지 않고 진술로 둔다.T1
(3)이 진술을 받아들이면 (eˣ)′ = eˣ. 증가율이 자기 자신인 함수의 밑이 바로 이 극한 e 다.(1), (2)
증명 생략.
비고
A6 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
aₙ 이 증가하며 3 을 넘지 않는다는 것과, aₙ 이 다가가는 수가 있다는 것은 다른 말이다.