aˣ · 지수함수
현재량에 비례해 변하는 모든 것의 곡선, 지수함수
연못의 수련이 매일 2배씩 늘어 30일째에 연못을 꽉 채운다면, 절반을 채운 날은 언제일까?
우리 뇌가 도무지 못 느끼는 단 하나의 곡선
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
세균은 지금 있는 만큼 분열하고, 이자는 지금 잔고만큼 붙고, 전염병은 지금 감염자 수에 비례해 퍼집니다. '변화량이 현재량에 비례한다'는 공통 구조예요.
이런 성장은 일차함수의 직선 감각으로는 절대 예측이 안 됩니다. 어제까지 조용하다가 오늘 갑자기 폭발하는 것처럼 보여요. 사실은 처음부터 같은 비율로 자라고 있었습니다.
이 구조를 담는 함수가 y = aˣ, 지수함수입니다. 답이 29일(30일이 아니라!)인 수련 문제가 보여주듯, 지수의 세계에서 마지막 한 걸음은 지금까지의 전부와 같아요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 수련이 매일 2배씩 늘어 30일째에 연못을 꽉 채웁니다. 절반을 채운 날은 언제일까요?
연못을 직접 채워보세요 (24일째부터 시작)
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
일차적인 변화는 같은 양이 더해지고, 지수적인 변화는 같은 비율이 곱해집니다. 그래서 처음 차이는 작아 보여도 반복 횟수가 늘면 두 변화가 크게 벌어질 수 있습니다.
처음 10에서 매번 2를 더하면 10, 12, 14가 됩니다. 매번 두 배로 하면 10, 20, 40입니다. 앞뒤의 차를 볼지 비를 볼지가 규칙을 읽는 열쇠입니다.
지수함수의 특별함은 '변화 속도가 자기 자신을 닮았다'는 것이다.
지수함수는 클수록 빨리 자랍니다. 성장 속도가 현재 크기에 비례하기 때문이에요. 미분해도 자기 자신이 나오는 유일한 함수(eˣ)가 여기서 태어납니다.
29일의 교훈: 지수의 세계에서 '아직 절반'은 '거의 끝'이다.
연못의 절반은 마지막 하루 만에 채워집니다. 좋은 쪽(복리 자산)이든 나쁜 쪽(전염병과 부채)이든, 지수적 현상은 눈에 띄었을 때 이미 늦은 경우가 많아요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
밑이 양수인 실수 지수함수를 다룹니다. 현실의 성장률이 영원히 일정하다는 뜻은 아닙니다.
시뮬레이션에서 본 폭발과 소멸을 수식으로 정리합니다.
공식 해부 — 수련 연못에서 본 것과 짝지어 보기
=
지수함수
a>1이면 폭발(성장), 0<a<1이면 소멸(감쇠)입니다. 실험의 증가율 슬라이더가 바로 a였어요.
성장의 구조
변화량이 현재량에 비례한다는 말의 수식입니다. 이 한 줄을 n번 반복하면 (1+r)ⁿ이 돼요. 복리 실험실에서 본 그 식입니다.
반감기·배가 시간
일정한 비율로 변하는 것들은 '2배 되는 시간'과 '절반 되는 시간'이 항상 일정합니다. 그 시간을 묻는 순간 로그가 등장해요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
매일 2배면 30일 뒤엔 60배쯤 된다.
2³⁰은 약 10억 배입니다. 곱셈의 반복을 덧셈 감각으로 어림하면 항상 어마어마하게 작게 잡아요. 인간의 직관은 직선이고, 세상의 성장은 지수입니다.
그래프가 완만한 초반에는 아직 '지수적'이 아니다.
초반의 완만함도 같은 비율의 성장입니다. 1→2→4는 커 보이지 않지만 이미 매번 2배씩 크고 있어요. 전염병 초기 대응이 중요한 수학적 이유가 이것입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
전염병 확산
감염자 1명이 평균 R명을 감염시키면 세대마다 R배가 됩니다. R이 1보다 큰가 작은가가 방역의 전부였어요.
복리와 부채
자산도 빚도 지수로 자랍니다. 복리 실험실에서 본 눈덩이 곡선이 바로 지수함수예요.
방사성 붕괴와 연대 측정
탄소-14는 5,730년마다 절반으로 줍니다. 남은 비율을 재면 유물의 나이를 거꾸로 계산할 수 있어요. 감소 지수함수의 활용입니다.
망각 곡선
기억도 지수적으로 사라집니다. 복습 타이밍을 수학으로 설계할 수 있는 이유예요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
값이 계속 커진다는 것만으로 지수함수라고 할 수 있을까요?
생각한 뒤 설명 확인하기
없습니다. 같은 입력 간격에서 출력의 비가 일정한지 보아야 합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 수련이 매일 2배로 자라 30일째 연못을 가득 채웠습니다. 절반이던 날은?
2. 감염자 1명이 평균 R명을 감염시킵니다. R = 1.1과 R = 0.9는 10세대 뒤에 어떻게 갈릴까요?
3. 세균 1마리가 20분마다 2배가 됩니다. 1시간 뒤에는 몇 마리?
4. 탄소-14는 5,730년마다 절반으로 줄어듭니다. 처음의 4분의 1만 남으려면 몇 년이 걸릴까요?
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
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