log x · 로그함수
폭발하는 세계를 사람 눈금으로 압축하는 렌즈, 로그함수
30년간 100배 오른 주식 차트. 왜 처음 20년은 바닥을 기는 것처럼 보일까?
지진도 소리도 별 밝기도 로그 눈금인 까닭
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
지수적으로 자라는 값을 일반 눈금에 그리면, 초반은 전부 바닥에 눌려 보이지 않습니다. 주가 100→200(2배!)의 대박이 10000→20000과 같은 '2배'인데도 전혀 다르게 보여요.
공정하게 보려면 '몇 배 변했는가'가 같은 간격으로 보이는 눈금이 필요합니다. 10, 100, 1000이 같은 간격인 로그 눈금이에요.
로그 눈금 위에서 지수 성장은 직선이 됩니다. 곡선의 휘어짐에 속지 않고 성장률 자체를 읽을 수 있게 돼요. 이것이 로그함수가 데이터 시대의 필수 교양인 이유입니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 30년간 매년 같은 비율(~17%)로 오른 주식이 있습니다. 처음 10년과 마지막 10년, 어느 쪽이 더 좋은 투자였을까요?
30년 주가 (연 ~17%)
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
로그함수는 지수함수의 질문을 거꾸로 읽습니다. 입력이 얼마나 커졌는지를 절대 차이만이 아니라 몇 배가 되었는지로 읽고 싶을 때 유용합니다.
밑이 2이면 1, 2, 4, 8의 로그값은 0, 1, 2, 3입니다. 입력의 간격은 점점 커지는데 출력의 간격은 같습니다. 반대로 밑이 1/2이면 함수는 감소합니다.
로그 눈금에서 직선이면, 일정한 '비율'로 자라고 있다는 뜻이다.
로그 차트의 기울기는 성장률입니다. 직선이면 매년 같은 %로 성장 중이고, 기울기가 꺾이면 성장률이 변한 것이에요. 뉴스 그래프를 읽는 강력한 기술입니다.
지수와 로그는 같은 관계를 반대쪽에서 부르는 이름이다.
2¹⁰ = 1024와 log₂1024 = 10은 같은 문장입니다. y=aˣ의 그래프를 y=x 거울에 비추면 로그함수가 나와요. 새 함수가 아니라 시선의 반전입니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
밑 b는 b>0, b≠1이고 진수 x는 x>0입니다. 모든 로그함수가 증가한다고 생각하지 않습니다.
눈금 토글 실험에서 본 것을 수식으로 정리합니다.
공식 해부 — y=x 거울 실험과 짝지어 보기
⟺
로그함수의 정의
지수함수의 입력과 출력을 맞바꾼 것입니다. 그래서 두 그래프는 y=x에 대해 대칭이에요.
지수 성장이 직선이 되는 이유
양변에 로그를 취하면 x의 일차식, 즉 직선이 됩니다. 기울기(log a)가 성장률이에요.
로그의 성장 속도
입력이 100만이어도 출력은 겨우 6입니다. 이 극단적인 압축력이 큰 수를 다루는 모든 분야의 표준 도구가 된 이유예요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
로그 차트는 변화를 축소해서 보여주는 왜곡이다.
반대로 일반 눈금이 '초반의 큰 변화율'을 뭉개는 왜곡을 만듭니다. 2배는 언제나 같은 의미인데, 일반 눈금은 그것을 다르게 그려요. 로그 눈금이야말로 비율의 세계를 공정하게 보여줍니다.
로그함수는 천천히 자라니까 별로 중요하지 않은 함수다.
천천히 자란다는 것이 핵심 능력입니다. 어떤 폭발적인 값도 로그를 통과하면 다룰 수 있는 크기가 돼요. 정보량, 엔트로피, pH, 데시벨, 별의 등급이 전부 로그로 정의된 이유입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
주식 장기 차트
장기 투자 분석은 반드시 로그 차트로 합니다. 같은 기울기가 같은 수익률이라서, 1980년대의 상승과 2020년대의 상승을 공정하게 비교할 수 있어요.
전염병 그래프 판독
로그 눈금에서 확진자 곡선이 직선이면 지수 확산 중이고, 기울기가 꺾이면 확산세가 둔화된 것입니다. 방역 뉴스의 그래프가 로그였어요.
감각의 눈금
소리(dB), 별의 밝기, 지진 규모는 전부 로그 단위입니다. 인간의 감각 자체가 자극의 로그에 비례하기 때문이에요(베버-페히너 법칙).
알고리즘의 효율
이진 탐색이 100만 건을 20번 만에 찾는 이유는 log₂(100만) ≈ 20이기 때문입니다. 컴퓨터 과학의 성능 분석은 로그로 말해요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
로그함수에서 x=0을 넣을 수 있나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
실수 로그에서는 정의되지 않습니다. x가 0의 오른쪽으로 다가갈 때의 거동과 0에서의 함수값은 다릅니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 일반 눈금에서 처음 20년이 바닥을 기는 것처럼 보이던 주식 차트. 로그 눈금으로 바꾸면?
2. 로그 눈금에서 어떤 그래프가 곧은 직선입니다. 무슨 뜻일까요?
3. log₁₀ 10,000의 값은?
4. 로그 눈금 확진자 그래프에서 직선의 기울기가 꺾여 완만해졌습니다. 무슨 뜻일까요?
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
이전 개념
다음 개념으로 연결